Даны координаты вершин пирамиды а1 а2 а3 а4. построить пирамиду. найти: 1) длину ребра а1 а2; 2) угол между ребрами а1 а2 и а1 а4; 3) площадь грани а1а2а3; 4) объем пирамиды. а1( 2; -2; 1 ) а2(10; 2; 2 ) а3( 6; 1; 2 ) а4 ( 8; 4; 4 )

Даны координаты пирамиды: A1(2,-2,1), A2(10,2,2), A3(6,1,2), A4(8,4,4)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 10-2; Y = 2-(-2); Z = 2-1
A1A2(8;4;1)
A1A3(4;3;1)
A1A4(6;6;3)
A2A3(-4;-1;0)
A2A4(-2;2;2)
A3A4(2;3;2)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
|a| = √(X²+Y²+Z²).
Длина ребра А1А2 равна:
А1А2 = √((8² + 4² + 1²) = √(64 + 16 + 1)  = √81 = 9.

2) Найдем угол между ребрами A1A2(8;4;1) и A1A4(6;6;3):
cos α = (8*6+4*6+1*3)/(9*9) = (48+24+4)/81 = 76/81 =  0,925926. 
α = arccos(0.925926) = 0,387317 радиан = 22,19161°. 
3) Площадь грани А1А2А3.
Площадь грани можно найти по формуле:
S = (1/2)*|a|*|b|*sin α,
где sin α = √(1 - cos²α).

Найдем площадь грани A1A2A3
Найдем угол между ребрами A1A2(8;4;1) и A1A3(4;3;1):
cos α = (8*4+4*3+1*1)/(9*√26) =  45/45,89118 = 0,980581.
sin α = √(1 -  0,980581²) =  0,196116.
Площадь грани A1A2A3 равна:
S = (1/2)*9*√26* 0,196116 = 4,5 кв.ед.
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Векторное произведение:
 i       j       k
8      4      1
4      3      1  =
= i(4*1-3*1) - j(8*1-4*1) + k(8*3-4*4) = i - 4j + 8k.
S = (1/2)*√(1²+4²+8²) = (1/2)*√81 = 4,5 кв.ед.

4) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
               X1   Y1    Z1
 (1/6)*    X2    Y2    Z2
              X3    Y3   Z3 =

           = 8       4     1
              4       3     1
              6       6     3
Находим определитель матрицы
∆ = 8*(3*3-6*1)-4*(4*3-6*1)+6*(4*1-3*1) = 6.
V = (1/6)*6 = 1 куб.ед.