Дано неравенство: ||...x|−1|−2|−3|−...|−1754|≤868.

a) Чему равна сумма целых чисел, удовлетворяющих этому неравенству?

б) Какой остаток от деления на 2 даёт число целых решений этого неравенства?

Чтобы решить данное неравенство, мы должны разобраться с абсолютными значениями |...|.

a) Первым действием будет вычислить значение абсолютного значения ||...x|−1|−2|−3|−...|−1754|. Здесь каждый знак минус перед числом создает абсолютное значение, поэтому |x-1-2-3-...-1754|. Затем мы можем сократить это выражение, запишем его как первое слагаемое минус сумма чисел от 1 до 1754: |x - (1 + 2 + 3 + ... + 1754)|.

Чтобы вычислить сумму чисел от 1 до 1754, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:
Sn = (a1 + an) * n / 2,

где Sn - сумма арифметической прогрессии,
a1 - первый член прогрессии,
an - последний член прогрессии,
n - количество членов прогрессии.

В данном случае, a1 = 1 (первое число), an = 1754 (последнее число), n = 1754 (количество чисел). Подставив значения, получим:
S = (1 + 1754) * 1754 /2 = (1755) * 1754 / 2 = 1540075.

Значит, абсолютное значение в нашем неравенстве равно: |x - 1540075|.

Теперь у нас есть новое неравенство: |x - 1540075| ≤ 868.

Далее, чтобы найти целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, мы можем воспользоваться двумя выражениями:
1) x - 1540075 ≤ 868,
2) -(x - 1540075) ≤ 868.

Решим первое выражение:
x - 1540075 ≤ 868,
x ≤ 1540943.

Решим второе выражение:
-(x - 1540075) ≤ 868,
- x + 1540075 ≤ 868,
- x ≤ -1540075 + 868,
- x ≤ -1540075 + 868,
- x ≤ -1539207,
x ≥ 1539207.

Каким образом мы этих решения суммируем?
Мы знаем, что сумма двух неравенств есть сумма их решений (пересечение) или объединение решений (объединение).
Таким образом, сумма целых чисел, удовлетворяющих этому неравенству - это сумма всех целых чисел от 1539207 до 1540943 включительно.

b) Чтобы определить остаток от деления на 2 даёт число целых решений этого неравенства, мы можем посмотреть на различные случаи. Очевидно, что все четные целые числа между 1539207 и 1540943 будут удовлетворять данному неравенству, и остаток от их деления на 2 будет 0. Все нечетные целые числа тоже будут удовлетворять неравенству, и остаток от их деления на 2 будет 1. Следовательно, в каждом из этих случаев будет иметь место от 1540943-1539207 = 736 целых чисел. Получается, что остаток от деления на 2 для числа целых решений этого неравенства будет равен 736 / 2 = 368.

Таким образом, сумма целых чисел, удовлетворяющих данным неравенствам, равна сумме всех целых чисел от 1539207 до 1540943 включительно, а остаток от деления на 2 числа целых решений этого неравенства равен 368.