1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный:
1)B1C1 + AB + CC1 + B1A ; 2)DC - CB1.

2. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани АВCD пересекаются в точке О. Разложите вектор C1O по векторам, C1B1=b ,C1C=c, C1D1=d.

3. DABC – тетраэдр, точка Е – середина ребра АD, а точка М – точка пересечения медиан грани BDC. Разложите вектор EM по векторам AB , AC и AD .

4. Дан тетраэдр DABC. Медианы грани АВС пересекаются в точке М, N принадлежит DC , причем DN : NC = 5 : 1. Разложите вектор MN по векторам AB=b, AC=c, AD=d.

1) Рассмотрим первый вектор B1C1 + AB + CC1 + B1A.
- B1C1: это вектор от вершины B1 до вершины C1.
- AB: это вектор от вершины A до вершины B.
- CC1: это вектор от вершины C до вершины C1.
- B1A: это вектор от вершины B1 до вершины A.

Чтобы найти сумму этих векторов, нужно сложить соответствующие векторы. Обозначим эти векторы:
- B1C1 = v1
- AB = v2
- CC1 = v3
- B1A = v4

Тогда вектор B1C1 + AB + CC1 + B1A = v1 + v2 + v3 + v4.

2) Далее рассмотрим второй вектор DC - CB1.
- DC: это вектор от вершины D до вершины C.
- CB1: это вектор от вершины C до вершины B1.

Чтобы найти этот вектор, нужно вычесть вектор CB1 из вектора DC. Обозначим эти векторы:
- DC = v5
- CB1 = v6

Тогда вектор DC - CB1 = v5 - v6.

3) Теперь перейдем к третьему вопросу о разложении вектора C1O по векторам b, c и d.
- C1B1 = b: это вектор от вершины C1 до вершины B1.
- C1C = c: это вектор от вершины C1 до вершины C.
- C1D1 = d: это вектор от вершины C1 до вершины D1.

Вектор C1O можно разложить по этим векторам следующим образом:
C1O = C1B1 + C1C + C1D1 = b + c + d.

4) В последнем вопросе нам нужно разложить вектор MN по векторам b, c и d, где:
- MN: это вектор от точки M до точки N.
- AB = b: это вектор от вершины A до вершины B.
- AC = c: это вектор от вершины A до вершины C.
- AD = d: это вектор от вершины A до вершины D.

Дано, что точка N принадлежит отрезку DC и отношение DN к NC равно 5 к 1. Это означает, что вектор DN равен пяти частям вектора NC. Обозначим вектор DN как 5k, где k - вектор NC.

Теперь мы можем разложить вектор MN по векторам AB, AC и AD:
MN = MA + AN.

Вектор MA можно разложить по векторам AB, AC и AD следующим образом:
MA = AB + BC1 + C1D1 + DM.

Далее, вектор AN можно разложить по векторам AB, AC и AD:
AN = AM + MN = AM + (MA + AN).

Заметим, что MA и AM - это один и тот же вектор, поэтому можно записать:
AN = AM + MN = MA + (MA + AN) = 2MA + AN.

Теперь подставим разложение вектора MA и учтем, что точка N находится на отрезке DC в отношении 5 к 1:
AN = 2(AB + BC1 + C1D1 + DM) + 5k.

Таким образом, вектор MN равен:
MN = AN - AM = 2(AB + BC1 + C1D1 + DM) + 5k - AB - BC1 - C1D1 - DM = AB + BC1 - BC1 + C1D1 + 5k = AB + C1D1 + 5k.