Почему тургенев разрешает герасиму уйти от барыни

Потому что слабохарактерный был.

А Вы вспомните что это было за время: Герасим был крепостным, т. е. практически собственностью своей барыни, она могла делать с ним всё что хотела. И воспитывали крепостных соответствующе - в полном подчинении хозяину. Герасим просто не мог не исполнить её волю. Но в месте с тем у него смого был внутренний конфликт - необходимость подчиниться приказу и с другой стороны - собачка, которую он любил.
Вот он и нашел палеотивное решение - приказ барыни он выполнил, но жить дальше, так как он жил, он бы тоже не смог. Вот он и ушел ...