Знайти довжину лiнii, по якiй площина z = 2 - y перетинае сферу x² + (y + 1)² + (z - 2)² = 25

Любое пересечение сферы - это окружность.

Находим расстояние от центра сферы до плоскости.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0   используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| √A2 + B2 + C2  

Подставим в формулу данные:

Координаты центра сферы (это точка М) получаем из уравнения сферы: М(0; -1; 2). Уравнение плоскости в общем виде: у + z - 2 = 0.

Коэффициенты равны: А = 0, В = 1, С =  1, Д = -2.

d =   |0·0 + 1·(-1) + 1·2 + (-2)| /√(0² + 1² + 1²)  =   |0 - 1 + 2 - 2| √(0 + 1 + 1)  =

=   1 /√2  =   √2/ 2  ≈ 0.7071067.

Отсюда находим радиус окружности, по которой пересекается сфера.

r = √(R² - d²) = √(5² - (1/√2)²) = √(25 - (1/2)) = √(49/2) = 7/√2 = 7√2/2.

ответ: L = 2πr = 2π*(7√2/2) = 7√2π.