Желательно с чертежём

1.AB и АC – отрезки касательных, проведенных из точки А к окружности с центром О. ОС= 18 см, а радиусы, проведенные к точкам касания, образуют угол, равный 120˚. Чему равен отрезок ОА?
2. Точки АВС лежат на окружности с центром в точке О.ᴗАВ:ᴗАС =2:3, угол ВАС = 55˚. Чему равен угол АОС?

1. Для решения данной задачи, нам понадобится использовать некоторые свойства окружностей и треугольников.

Для начала, мы видим, что отрезки AB и AC являются касательными к окружности с центром О. Таким образом, эти отрезки радиусы, проведенные к точкам касания. Пусть точки касания будут обозначены как В и С.

По свойству касательных, мы знаем, что отрезок, проведенный из центра окружности к точке касания, перпендикулярен к касательной. Исходя из этой информации, можно сказать, что угол ОCB (где B - точка касания на отрезке AB) будет прямым углом. В таком случае, можно сделать вывод, что треугольник ОCB - прямоугольный.

Мы знаем, что угол образованный радиусами в точках касания равен 120˚. Так как треугольник ОCB - прямоугольный, то сумма углов треугольника равна 180˚. Поэтому, угол ОBC будет равен 180˚ - 120˚ = 60˚.

Теперь мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенс, чтобы найти отношение сторон треугольника ОCB. Мы знаем, что тангенс угла ОBC равен противолежащей стороне (OC) поделенной на прилежащую сторону (OB). Таким образом, мы можем записать:

тангенс 60˚ = OC / OB

Далее, нам дано, что OC = 18 см.

Так как OB - радиус окружности и радиусы проведены к точкам касания, то OB также равен радиусу окружности. Обозначим радиус как r.

Теперь мы можем переписать уравнение:

тангенс 60˚ = 18 / r

Осталось только найти значение радиуса r. Для этого, мы можем применить теорему косинусов к треугольнику ОAB.

Так как угол между сторонами ОB и ОА равен 60˚, то угол между сторонами AО и АB также равен 60˚. Поэтому, мы можем использовать теорему косинусов:

r^2 = ОА^2 + OB^2 - 2 * ОА * OB * cos(60˚)

Мы знаем, что ОА (которое мы ищем) и OB равны. Поэтому, формула упрощается до:

r^2 = 2 * ОА^2 - 2 * ОА^2 * cos(60˚)

Теперь мы можем подставить значение тангенса 60˚ из предыдущего уравнения:

r^2 = 2 * ОА^2 - 2 * ОА^2 * (18 / r)

Упрощая это уравнение, мы получаем:

r^3 - 36 * ОА^2 = 0

Получившееся уравнение является кубическим уравнением относительно r. Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или метода декарта (синтетического деления).

Решив уравнение, мы найдем значение r. Подставив найденное значение r в уравнение для тангенса 60˚, мы найдем значение ОА.

2. Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства описанных углов окружности.

Мы знаем, что если две дуги окружности отсекают равные центральные углы, то эти дуги равны.

Поэтому, дуга АВ равна дуге АС, так как угол АВС равен 55˚.

Мы также знаем, что соотношение дуг АВ и АС равно 2:3. Таким образом, можно сказать, что дуга АВ составляет 2/5 от всей окружности, а дуга АС составляет 3/5 от всей окружности.

Сумма всех дуг окружности равна 360˚. Мы можем найти меру дуги АВ, используя следующее уравнение:

(2/5) * 360˚ = (2/5) * дуга АВ

Аналогично, мы можем найти меру дуги АС:

(3/5) * 360˚ = (3/5) * дуга АС

Так как дуги АВ и АС равны, то мы можем записать:

(2/5) * дуга АВ = (3/5) * дуга АС

Решая это уравнение, мы найдем меру дуги АВ.

Теперь нам нужно найти меру угла АОС.

Мы знаем, что центральный угол, соответствующий данной дуге, равен мере дуги.

Таким образом, угол АОС равен мере дуги АВ. Мы можем использовать найденную меру дуги АВ, чтобы найти меру угла АОС.