Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 5 см, а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусам. найти площадь поверхности пирамиды.

Для решения нужно найти сторону основания и апофему. 

Основание правильной треугольной пирамиды МАВС - равносторонний треугольник АВС. 

СН=5 ⇒

 СВ=СН:sin60°=5:√3/2=10/√3

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания, 

т.е. в точку пересечения медиан ∆ АВС.

По свойству медиан т.О делит СН в отношении СО:ОН=2:1 =>

ОН=CH:3=5/3 

 Данный по условию двугранный угол - угол между боковой гранью и основанием, а ребром его является сторона основания. 

Градусной мерой двугранного угла является величина  линейного угла,  стороны которого  – лучи с общим началом на ребре двугранного угла, проведенные в его гранях перпендикулярно ребру. 

Наклонная МН⊥АВ, её проекция СН⊥АВ, ⇒ угол МНО=45°

∆ МОН- прямоугольный.

cos45°=√2/2

 Апофема МН=ОН:cos45°=(5/3):(√2/2)

S(ABC)=CH•AB:2=5•5/√3=25/√3

S(бок)=3•МН•АВ=3•10/(3√2)•0,5•10/√3=25√2/√3 

S(полн)=S (осн)+S(бок)

S(полн)=25/√3+25√2/√3 =25•(1+√2):√3= ≈ 34,846 см²