Вравнобедренной трапеции с периметром 42 и высотой 12 диагональ делит тупой угол пополам. найдите основания трапеции.

Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне. А так как она является диагональю, то основание равно боковой стороне.
 Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции равна полуразности длин оснований.
На основании этих данных составляем систему уравнений:
Обозначим х - верхнее основание,
                     а - боковые стороны и нижнее основание.
х = 42 - 3а
а² = 12² + ((а-х)/2)².
Подставив х из 1 уравнения во второе и приведя к общему знаменателю, получаем: 3а²+2а(42-3а)-(42-3а)²-144*4=0.
Квадратное уравнение, решаем относительно a: 
Ищем дискриминант:D=336^2-4*(-12)*(-2340)=112896-4*(-12)*(-2340)=112896-(-4*12)*(-2340)=112896-(-48)*(-2340)=112896-(-48*(-2340))=112896-(-(-48*2340))=112896-(-(-112320))=112896-112320=576;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a_1=(2root576-336)/(2*(-12))=(24-336)/(2*(-12))=
= -312/(2*(-12))=-312/(-2*12)=-312/(-24)=-(-312/24)=-(-13)=13;
a_2=(-2root576-336)/(2*(-12))=(-24-336)/(2*(-12))=
= -360/(2*(-12))=-360/(-2*12)=-360/(-24)=-(-360/24)=-(-15)=15.
Второй корень не принимаем, так как периметр трапеции больше 42.
Тогда меньшее основание равно 42 - 3*13 = 42 - 39 = 3.