Вариант 1

1. отрезки кn и ptпересекаются в точке o и делятся ею пополам. докажите, что kp = nt.

2. в mnk mn = nk, np – медиана, knp = 40°. найдите mnk.

3. периметр равнобедренного треугольника равен 15,3см. его основание больше боковой стороны на 3 см. найдите стороны треугольника.

4. луч ак – биссектриса угла а. на сторонах угла а отмечены точки в и с так, что акв = акс. докажите, что ав = ас.

вариант 2

1. bd=ac и bc = ad. докажите, что adb = acb.



2. в mnk mn = nk, nc – медиана, mnk = 120°. найдите mnc.

3. периметр равнобедренного треугольника равен 13,6см. его основание меньше боковой стороны на 2 см. найдите стороны треугольника.

4. на сторонах угла аотмечены точки м и k так, что ам = аk. точка р лежит внутри угла а и рk = рм.докажите, что луч ар – биссектриса угла маk.​

Вариант 1:

1. Для доказательства равенства KP = NT, можно воспользоваться свойством пересекающихся отрезков, делящихся одной точкой пополам. Пусть точка O делит отрезки KN и PT пополам. Тогда по определению, KO = ON и PO = OT. Также, по условию, мы знаем, что KN = PT. Рассмотрим четырёхугольник KOPT. У него две пары равных сторон: KO = OT и KP = PT. Кроме того, у него одинаковые углы: ∠KOT = ∠TOP (так как он прямоугольный). Из этих равенств следует, что четырёхугольник KOPT - равнобедренный. В таком четырёхугольнике, при наличии равенства сторон (KP = PT), равны и соответствующие к ним углы (∠KPO = ∠POT). Значит, из равнобедренности четырёхугольника KOPT следует, что KP = NT.

2. В треугольнике MNK по условию задачи MN = NK. Медиана проводится из вершины треугольника к середине противолежащей стороны, в данном случае из вершины N к середине стороны MK. Дано, что ∠KNP = 40°. Медиана делит треугольник на два равных треугольника, поэтому ∠KMP = ∠KMN. Так как ∠KMP + ∠KNP + ∠KNM = 180° (сумма углов треугольника), то ∠KMN + 40° + ∠KNM = 180°. Отсюда найдем ∠KMN: ∠KMN = 180° - 40° - ∠KNM. Зная, что ∠KNM = ∠MKN (так как MN = NK), получаем ∠KMN = 180° - 40° - ∠MKN. Так как ∠KMN + ∠MKN = 180° (сумма углов треугольника), то ∠KMN = ∠MKN = (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°.

3. Пусть основание равнобедренного треугольника равно а см, а боковая сторона равна b см. По условию, периметр равнобедренного треугольника равен 15,3 см. Запишем уравнение для периметра: 2a + b = 15,3. Также известно, что основание больше боковой стороны на 3 см: a = b + 3. Подставим значение a в первое уравнение: 2(b + 3) + b = 15,3. Упростим: 2b + 6 + b = 15,3. Объединим переменные: 3b + 6 = 15,3. Вычтем 6 из обеих частей уравнения: 3b = 9,3. Разделим обе части на 3: b = 3,1. Теперь найдем значение a, подставив b во второе уравнение: a = 3,1 + 3 = 6,1. Таким образом, стороны треугольника равны 6,1 см, 6,1 см и 3,1 см.

4. Пусть угол A имеет биссектрису луч AR. Из условия задачи ясно, что AK = AM. Так как луч AR является биссектрисой угла A, угол MAR будет равным углу KAR (так как они являются смежными и прилежащими к одному и тому же лучу AR). Аналогично, угол RAC будет равным углу CAA (так как они являются смежными и прилежащими к одному и тому же лучу AR). Из равенства AK = AM следует, что ∠KAR = ∠MAR. Также, из равенства AC = AC следует, что ∠CAA = ∠CAC. Теперь сравним три угла ∠KAR, ∠CAA и ∠CAC. У них два угла равны друг другу (∠ARW = ∠MAR и ∠CAA = ∠CAC), следовательно, мы можем заключить, что третий угол также равен: ∠KAR = ∠CAA. Так как угол ∠KAR равен углу ∠CAA, а угол ∠MAR равен углу ∠CAC, то ∠KAR равен углу ∠MAR. Таким образом, автоматически оказываются равными и отрезки AR и AC: AV = AS.

Вариант 2:

1. Пусть BD = AC и BC = AD. Рассмотрим треугольники ABD и ABC. У них две пары равных сторон: BD = AC и BC = AD. Кроме того, ∠ABD и ∠ABC обратные друг другу, так как при вертикальной линии они равны. Из этих фактов следует, что по теореме о равенстве треугольников треугольники ABD и ABC равны. Значит, соответствующие углы ∠ADB и ∠ACB равны: ∠ADB = ∠ACB.

2. В треугольнике MNK по условию задачи MN = NK. Медиана проводится из вершины треугольника к середине противолежащей стороны, в данном случае из вершины N к середине стороны MK. Дано, что ∠MNK = 120°. Медиана делит треугольник на два равных треугольника, поэтому ∠MNC = ∠NKC. Так как ∠MNC + ∠NKC + ∠MNK = 180° (сумма углов треугольника), то ∠MNK + ∠NKC + ∠MNC = 180°. Отсюда найдем ∠MNC: ∠MNC = 180° - 120° - ∠NKC. Так как ∠NKC = ∠KNM (так как MN = NK), получаем ∠MNC = ∠KNM = (180° - 120°) / 2 = 60°.

3. Пусть основание равнобедренного треугольника равно A см, а боковая сторона равна B см. По условию, периметр равнобедренного треугольника равен 13,6 см. Запишем уравнение для периметра: 2A + B = 13,6. Также известно, что основание меньше боковой стороны на 2 см: A = B - 2. Подставим значение A в первое уравнение: 2(B - 2) + B = 13,6. Упростим: 2B - 4 + B = 13,6. Объединим переменные: 3B - 4 = 13,6. Вычтем 4 из обеих частей уравнения: 3B = 17,6. Разделим обе части на 3: B = 17,6 / 3. Теперь найдем значение A, подставив B во второе уравнение: A = 17,6 / 3 - 2. Таким образом, стороны треугольника равны примерно 3,87 см, 3,87 см и 7,87 см.

4. Пусть точка P оказалась на луче AK после точки K. Тогда PK = PM и PA = PA (по построению), а также углы ∠AMP и ∠PMA равны (так как они вертикальные). Рассмотрим треугольники AMP и PMK. У них две пары равных сторон: MP = PK и PM = PM. Кроме того, углы ∠AMP и ∠KMP равны (как уже было замечено). Из этих фактов следует, что по теореме о равенстве треугольников треугольники AMP и PMK равны. Значит, соответствующие углы ∠APM и ∠MPK равны: ∠APM = ∠MPK. Так как угол ∠APM равен углу ∠MPK, а угол ∠PMA равен углу ∠MPK, то ∠APM равен углу ∠PMA. Таким образом, автоматически оказываются равными и отрезки AP и AC: AP = AC.