В треугольнике АВС В1-середина АС, точка А1 лежит на стороне ВС так, что ВА1 : А1С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ1 лежит на прямой АА1

Объяснение:

Изменю некоторые буквы условия. Написание индексов напрягает здесь.

В треугольнике ABC точка E-середина АС, точка F лежит на стороне BC так, что BF : FC = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина BE лежит на прямой AF.

Достроим среднюю линию EP||BC

EP∩AF=O; BE∩AF=H.

Докажем, что BH=HE

PE||BC⇒ΔAPO~ΔABF, ΔAOE~AFC, ΔAPE~ΔABC с одним и тем же коэффициентом подобия k=0,5

Тогда

PO=0,5BF=0,5(0,5FC)=0,5OE⇒PO=0,5OE

Рассмотрим ΔABE

EP-медиана, OE=2PO⇒AH-медиана.

ч.т.д.

Объяснение:

поместим точку А в начало прямоугольной системы координат, а точку С - на оси Х

примем направления векторов, как показано на рисунке 1

докажем, что вектор АО→ коллинеарен вектору АА₁→, а поскольку они имеют общую точку А, то и точка О (середина вектора ВВ₁→) лежит на прямой АА₁