В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 8 см а острый угол равен 30 градусов Найдите катеты​

Объяснение:

По какой-то там теореме катет который лежит напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы, отсюда этот катет равен 4 см. Далее по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, отсюда второй катет равен 8²-4²=✓48

✓48=4✓3

Хорошо! Для решения этой задачи нам понадобится использовать тригонометрию – специальную математическую область, которая связывает углы и стороны треугольников.

У нас уже есть известные данные: гипотенуза равна 8 см и острый угол равен 30 градусов. Нам нужно найти катеты треугольника.

Первым шагом нам нужно определить, какой именно катет мы собираемся найти. Есть два катета в прямоугольном треугольнике – это стороны, прилегающие к прямому углу. Пусть один из катетов будет A, а другой – B.

Для нахождения катетов мы будем использовать тригонометрический тангенс (тангенс) угла. Тангенс угла (θ) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

В нашем случае, острый угол равен 30 градусов. Тангенс 30 градусов:

тан(30°) = противолежащий катет / прилежащий катет.

Мы знаем, что гипотенуза равна 8 см. С помощью теоремы Пифагора мы можем найти гипотенузу.

8^2 = A^2 + B^2,
64 = A^2 + B^2.

Мы также знаем, что тан(30°) = A / B, но нам нужно найти A и B, так что давайте выразим A через B из этого уравнения.

Будет удобно использовать тригонометрическое тождество tan^2(30°) + 1 = sec^2(30°), которое следует из трех тригонометрических тождеств:

sec(θ) = 1 / cos(θ),
cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1.

Таким образом,
tan^2(30°) + 1 = sec^2(30°),
A^2 / B^2 + 1 = (B / A)^2 + 1 = (A / B)^2 + 1,
(A / B)^2 + 1 = (B / A)^2 + 1,
(A / B)^2 = (B / A)^2,
A^2 = B^2.

Теперь мы знаем, что A^2 = B^2. Мы можем заменить B^2 на A^2 в наших исходных уравнениях:

64 = A^2 + B^2,
64 = A^2 + A^2,
64 = 2A^2.

Поделим обе части уравнения на 2:

32 = A^2.

Теперь найдем значение A:

A = √32.

A = √(16*2).

A = 4√2.

Таким образом, один из катетов равен 4√2 см.

Теперь найдем значение B, используя тот факт, что A^2 = B^2:

B^2 = (4√2)^2,
B^2 = 16*2,
B^2 = 32.

B = √32.

B = √(16*2),

B = 4√2.

Таким образом, второй катет также равен 4√2 см.

Итак, ответ: длина каждого катета равна 4√2 см.