Сторону ab треугольника abc продолжили за вершину b и выбрали на луче ab точку a1 так, что точка b — середина отрезка aa1 . сторону bc продолжили за вершину c и отметили на продолжении точку b1 так, что c — середина bb1. аналогично, продолжили сторону ca за вершину a и отметили на продолжении точку c1 так, что a – середина cc1. найдите площадь треугольника a1b1c1, если площадь треугольника abc равна 1.

Соединим точки А1 и С, В1 и А, С1 и В.
АА1, ВВ1 и СС1 являются медианами треугольников SΔСС1А1, SΔAA1В1, SΔВВ1С1 соответственно.
По свойствам медианы, которая делит треугольник на два треугольника равной площади, имеем равенство площадей треугольников
SΔAC1A1=SΔAA1C    SΔBA1B1=SΔBB1A    SΔCB1C1=SΔCC1B

В свою очередь ВС, АС, ВА являются медианами в треугольниках SΔAA1C, SΔBB1A, SΔCC1B соответственно, следовательно также делят эти треугольники на два треугольника с равными площадями.
Отсюда площади каждого из этих треугольников равны 2.
А площадь всего треугольника А1В1С1=2+2+2+1=9