Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4, а двугранный угол при основании равен 45 градусов. найдите объём пирамиды.

Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Пусть Н - середина ВС.

Тогда АН⊥ВС (как медиана правильного треугольника) и SH⊥ВС (так как ΔSBC равнобедренный), тогда

∠SHO = 45° - линейный угол двугранного угла при основании.

ОН = а√3/6 = 4√3/6 = 2√3/3 как радиус вписанной в основание окружности.

ΔSOH равнобедренный прямоугольный, значит SO = OH = 2√3/3

Sabc = a²√3/4 = 16√3/4 = 4√3

V = 1/3 · Sabc · SO = 1/3 · 4√3 · 2√3/3 = 8/3 куб. ед.