S abcd - правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 3 корней из 2. Точка Т - середина ребра SC, точка М лежит на прямой ВС так, что В - середина МС. Через точки А; T; M проведена плоскость. Найти сумму квадратов всех сторон сечения пирамиды плоскостью АТМ.

Для начала, давайте разберемся с данными условиями. У нас есть пирамида SABCD, где все ребра равны 3 корня из 2. Точка T - середина ребра SC. Точка M - точка на прямой BC, такая что B - середина CM. И через точки A, T, M проведена плоскость. Нам нужно найти сумму квадратов всех сторон сечения пирамиды этой плоскостью АТМ.

Давайте вначале построим некоторые вспомогательные линии и точки, чтобы увидеть картину более ясно. Для этого обратимся к плоскости АТМ.

- Соединим точки A и T. Получим отрезок AT.
- Так как точка М является серединой отрезка BC, то проведем прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную прямой AT.
- Назовем точку пересечения этой прямой с плоскостью АТМ - точкой P.

Теперь мы можем перейти к нахождению секущих сторон пирамиды с плоскостью АТМ. Для этого нам понадобится знать, как плоскость пересекает грани пирамиды.

Грань ABS:
- Соединим точки A и B. Получим отрезок АВ.
- Найдем точку, в которой прямая AB пересекается с плоскостью АТМ (это может быть точка A, если прямая AB пересекается плоскостью АТМ).
- Назовем эту точку - точкой Q.
- Найдем длину отрезка AQ.

Грань BCD:
- Соединим точки B и C. Получим отрезок ВС.
- Найдем точку, в которой проходящая через точку Q прямая пересекается с плоскостью АТМ.
- Назовем эту точку - точкой R.
- Найдем длину отрезка BR.

Грань CDS:
- Соединим точки C и D. Получим отрезок СD.
- Найдем точку, в которой проходящая через точку R прямая пересекается с плоскостью АТМ.
- Назовем эту точку - точкой S'.
- Найдем длину отрезка CS'.

Грань DAS:
- Соединим точки D и A. Получим отрезок DA.
- Найдем точку, в которой проходящая через точку S' прямая пересекается с плоскостью АТМ.
- Назовем эту точку - точкой S''.
- Найдем длину отрезка DS''.

Теперь у нас есть все необходимые отрезки, чтобы найти сумму квадратов всех сторон сечения пирамиды плоскостью АТМ.

Сумма квадратов всех сторон:
= AQ^2 + BR^2 + CS'^2 + DS''^2

Теперь осталось только подставить значения отрезков, которые мы уже нашли, чтобы получить окончательный ответ. Но я не могу решить эту задачу полностью, так как мне неизвестны координаты точек.