Основание параллелепипеда — прямоугольник. Точки K, L и M — середины векторов AA1, B1C1 и CC1 соответственно. Двугранный угол при ребре AB равен 60°.
AB= 6, BC= 8. CL является высотой грани BB1C1C. Грань BB1C1C перпендикулярна основанию параллелепипеда.
Найди:
1. длину вектора BD−→−
2. Длину вектора KM−→−
3. Длину вектора CC1−→−
4. Длину вектора B1C−→−
5. Длину вектора AD1−→−−
(Где необходимо — округли ответ до сотых.)

Добрый день! Рассмотрим поочередно каждый из пунктов задачи.

1. Длину вектора BD−→−:
По условию, известна длина ребра AB, которая равна 6. Также известно, что ABCD - прямоугольник, и AB является основанием параллелепипеда. Это значит, что AD - противоположная сторона прямоугольника ABCD и имеет такую же длину, как BC, то есть 8. Рассмотрим треугольник ABD. Вектор BD является диагональю этого треугольника. По теореме Пифагора, квадрат длины диагонали треугольника равен сумме квадратов длин его сторон. Применяя эту теорему, получаем:
BD² = AB² + AD²
= 6² + 8²
= 36 + 64
= 100
Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения: BD = √100 = 10.
Таким образом, длина вектора BD−→− равна 10.

2. Длину вектора KM−→−:
Точки K, L и M являются серединами соответствующих сторон векторов. Предположим, что H - середина ребра BC. Тогда вектор KH−→− будет равен половине вектора BC−→−, так как K - середина BC. Значит, KH−→− = 1/2 * BC−→− = 1/2 * 8 = 4. Точка L также является серединой вектора B1C1, поэтому KL−→− = 1/2 * B1C1−→−. Аналогично, точка M является серединой вектора CC1, поэтому KM−→− = 1/2 * CC1−→−. Вектор CC1−→− равен вектору AB−→−, так как двугранный угол при ребре AB равен 60°. Поэтому CC1−→− = AB−→−. Таким образом, KM−→− = 1/2 * AB−→−. Зная длину AB−→− (6) и применяя формулу для умножения вектора на число, получаем:
KM−→− = 1/2 * AB−→− = 1/2 * 6 = 3.
Таким образом, длина вектора KM−→− равна 3.

3. Длину вектора CC1−→−:
По условию, двугранный угол при ребре AB равен 60°. Это означает, что основание параллелепипеда ABCD-AB1C1 является равнобедренным треугольником со сторонами AB1 и BC1 (BC1 перпендикулярна AB). Длины сторон прямоугольного треугольника ABC, где AB равно 6, а BC равно 8, вычислены в первом пункте. Длина стороны B1C достаточно просто вычисляется: B1C = BC - B1C1 = 8 - CC1/2. Длина вектора CC1−→− равна длине стороны B1C, поэтому тоже равна 8 - CC1/2. Теперь нам нужно выразить CC1 через BC1. Обратите внимание, что треугольник BC1C равнобедренный, поэтому BC1 = CC1. Тогда, используя формулу для сложения векторов, получаем:
BC1−→− = AB−→− + BC−→−
= 6 + 8 = 14
Таким образом, длина вектора CC1−→− равна 8 - BC1/2 = 8 - 14/2 = 8 - 7 = 1.

4. Длину вектора B1C−→−:
Длина вектора B1C−→− равна длине стороны B1C1 прямоугольника B1C1B1C (где CL является высотой грани BB1C1C), так как эта сторона параллельна вектору B1C1−→− и имеет такую же длину. Вектор B1C1−→− равен 2 * B1C−→−, так как B1C1 является удвоенной версией вектора B1C. Аналогично, вектор B1C−→− равен 1/2 * B1C1−→−. Таким образом, длина вектора B1C−→− равна 1/2 * B1C1−→− = 1/2 * 14 = 7.

5. Длину вектора AD1−→−:
Рассмотрим треугольник ABC. По условию, двугранный угол при ребре AB равен 60°. Значит, треугольник ABC является равносторонним, и все его стороны равны. Мы уже вычислили, что BC = 8. Длина стороны AB равна 6, поэтому длина стороны AC равна той же величине. Теперь рассмотрим треугольник ACD1. Вектор AD1−→− является диагональю этого треугольника. По теореме Пифагора, квадрат длины диагонали треугольника равен сумме квадратов длин его сторон. Применяя эту теорему, получаем:
AD1² = AC² + CD1²
= AC² + BC²
= 8² + 6²
= 64 + 36
= 100
Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения: AD1 = √100 = 10.
Таким образом, длина вектора AD1−→− равна 10.

Надеюсь, ответы достаточно подробны и понятны! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.