Ребро sa пирамиды sabc перпендикулярно плоскости основания abc. а) докажите, что высота пирамиды проведённая из точки a, делится плоскостью, проходящей через середины ребер ab, ac и sa, пополам. б) найдите расстояние от вершины a до этой плоскости, если sa=корень из 5,ab=ac=5,bc=2 корень из 5

б) Искомое расстояние - длина отрезка АН, перпендикулярного к плоскости КМЕ. 

Т.к. АМ=МS;  АЕ=ВЕ; АК=КС, то МК и МЕ – средние линии треугольников АМК и АМЕ. 

∆ КАЕ - равнобедренный, его высота АО равна половине высоты АТ треугольника АВС. 

АТ по т. Пифагора из ∆ АТС=√(АС² -ТС² )=2√5

∆ КМЕ - равнобедренный, его высоту МО найдем из прямоугольного треугольника МАО.

АО=АТ:2=√5

МО=√(МА² +АО² )=5/2

В прямоугольном ∆ МАО отрезок  АН - высота, которая делит его на подобные треугольники, т. к. их острые углы равны (признак подобия прямоугольных треугольников). 

Из подобия следует отношение:

АН:АМ=АО:МО

АН:[(√5):2]=√5: 5/2  ⇒ АН=1

а) Так как пересекающиеся МК и МЕ соответственно параллельны пересекающимся SC и SB, то  плоскости МКЕ и CSB параллельны. АН ⊥плоскости КМЕ, следовательно, ее продолжение перпендикулярно плоскости CSB ( свойство прямой и параллельных плоскостей).

МО - средняя линия ∆ SAT, поэтому делит высоту АР, проведенную из вершины А, пополам.