Пусть точка h - ортоцентр остроугольного треугольника abc. докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники ahb, bhc, cha, равны, то треугольник abc - правильный.

Все эти треугольники имеют одну и ту же окружность Эйлера, а значит, у них одинаковые радиусы описанных окружностей. Раз равны и радиусы вписанных, то равны (по формуле Эйлера) и расстояния от центров вписанной и описанной окружностей для каждого треугольника. То есть эти треугольники AHB, BHC, CHA удовлетворяют теореме Понселе для заданной пары двух окружностей (одна описанная и одна вписанная).

То есть есть фиксированная пара вложенных окружностей, в которую можно поместить каждый из этих треугольников так, что большая окружность будет описанной, а меньшая - вписанной.

Для теоремы Понселе для треугольника легко доказать что, если у двух треугольников с ОБЩИМИ вписанной и описанной окружностями есть одинаковые стороны, то они равны (с точностью до симметрии).

(Если бы это было не так, то из леммы трезубца следовало бы, что центр вписанной окружности совпадает с центром описанной. )

Поэтому все три треугольника AHB, BHC, CHA равны между собой.

Я не очень боюсь выкладывать идею решения - по двум причинам. Во-первых, этот пост легко можно признать нарушением правил и удалить. Во-вторых, сама задача должна быть удалена согласно правилам сервиса.

Так что эта публикация не нарушает моего решения не выкладывать ответы на этом сервисе (до возврата к правилам 2012 года, когда я тут начинал что-то решать).