Параллелограм построен на векторах a и b. вычислить длины диагоналей этого параллелограмма; угол между диагоналями и площадь параллелограмма. 21 вариант

Надо разложить векторы p и q по координатным осям.

Пусть вектор p  направлен по оси Ох, вектор q под углом 90 градусов.

Получим координаты: p = (10; 0),  q = (0; 1)).

Переходим к векторам a и b.

a =3p + 2q = (3*10 + 2*0 ; 3*0 + 2*1) = (30; 2). Модуль |a| = √904.

b = p - q = (10 - 0; 0 - 1) =  (10; -1).                     Модуль |b| = √101.

Большая диагональ d1 = a + b = (30 + 10; 2 - 1) = (40; 1).

Её длина |d1| = √(40² + 1²) = √1601 ≈ 40,0125

Меньшая диагональ d2 = a - b = (30 - 10; 2 + 1) = (20; 3).

Её длина |d2| = √(20² + 3²) = √409 ≈ 20,224.

Находим угол между диагоналями d1 (40; 1) и d2(20; 3).

По скалярному произведение векторов.

cos A = |40*20 + 1*3|/(√1601*√409) = 803/√654809 ≈ 0,99233.

Угол A = 0,1239   радиан или 7,099  градуса.

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов a и b или через две диагонали и синус угла между ними.

Находим векторное произведение векторов a(30; 2) и b(10; -1).

i       j      k |      i        j

30   2     0 |     30    2

10   -1     0 |     10     -1     =  0i + 0j - 30k - 0j - 0i - 20k = -50.

Площадь по модулю равна 50 кв.ед.

По диагоналям:

S =  (1/2)d1d2 sin γ = (1/2)*√1601 * √409 * sin 7,099° = (1/2)*100 = 50 кв.ед.