Образующая конуса равна 8 см и составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите объем конуса

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h,

где V - объем конуса, π - число Пи (примерно равно 3.14), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Из условия задачи у нас уже есть значение угла между образующей и плоскостью основания конуса - 60 градусов. Мы также знаем, что длина образующей равна 8 см.

Для начала, нам нужно найти радиус основания конуса. Образующая конуса - это наклонная сторона треугольника, образованного радиусом основания, образующей и высотой, проведенной к основанию. По свойствам треугольника, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти радиус:

sin(60) = r / 8,

где r - радиус основания.

Преобразуем уравнение:

r = 8 * sin(60).

Теперь, чтобы решить это уравнение, нам нужно знать значение синуса 60 градусов. Синус 60 градусов равен √3 / 2. Подставим это значение в уравнение:

r = 8 * (√3 / 2) = 4√3.

Теперь, когда у нас есть радиус основания, нам также нужно найти высоту конуса. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора:

h^2 = 8^2 - (4√3)^2,

где h - высота конуса.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

h^2 = 64 - 48 = 16.

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

h = √16 = 4.

Теперь у нас есть значение радиуса основания и высоты конуса. Подставим эти значения в формулу для объема конуса:

V = (1/3) * π * (4√3)^2 * 4.

Упростим это выражение:

V = (1/3) * π * 48 * 4 = 64π.

Таким образом, объем конуса равен 64π кубических сантиметров или примерно 201.06 кубическим сантиметрам.