Найдите площадь поверхности правильной четырехугольный пирамиды стороны основания которой равны 6 и высота равна 4

Пусть SABCD - правильная 4-х угольная пирамида.О- точка пересечения диагоналей основания. Тогда SO-высота пирамиды.

Sпов.=Sосн.+Sбок.

Sосн.=а²=6²=36(ед.кв.)

Sбок.=½рl, где р - периметр основания, l-апофема(высота боковой грани).

Росн.=4а= 4·6=24 ед. -поскольку в основании квадрат.

Найдем апофему пирамиды, для этого проведем высоту боковой грани SAB, которая является равнобедренным треугольником. Получим SМ, т.М - середина стороны АВ основания пирамиды, т.к. для треугольника SAB SМ есть высотой, бисектрисой и медианой.

Кроме того по т. о 3-х перпендикулярах ОМ - проекция SМ на основание и ОМ тоже перпендикулярен АВ. Таким образом ОМ - радиус окружности вписаной в основание пирамиды. Для квадрата R=½а=½·6=3.

Из треугольника SОМ(угол О - прямой) по т.Пифагора SМ²=ОМ²+SО², SМ²=3²+4²=9+16=25,

SМ=5.

Sбок.=½·24·5=60(ед.кв.)

Sпов.=60+36=96(ед.кв.)