На рисунке 247 биссектрисы Углов AMP и ВМР пере- секают прямую CD в точках Е и F. Докажите, что если
MP = PE, то FP = РЕ.​

Для доказательства данного утверждения нам понадобится использовать свойства биссектрис углов.

1. Дано: На рисунке 247 биссектрисы углов AMP и BMV пересекаются с прямой CD в точках E и F соответственно, а также MP = PE.
Нам нужно доказать, что FP = PE.

2. Обратимся к свойству биссектрисы угла. Биссектриса угла делит этот угол на две равные по величине половины.
Из этого следует, что углы EMA и EMP равны, а также углы FMB и FMP равны.
Это свойство поможет нам доказать равенство отрезков FP и PE.

3. Обратимся к треугольнику EMP. Угол EMP равен углу EMA. Мы знаем, что это один и тот же угол.
Учитывая, что угол EMP равен углу EMA и отрезок MP равен отрезку PE, по свойству равных треугольников (по двум признакам равенства углов
и одному признаку равенства сторон) мы можем сделать вывод, что треугольники EMP и EMA равны.

4. Из равенства треугольников EMP и EMA следует, что отрезок EM равен отрезку EP (по двум признакам равенства треугольников).
Также, из равенства углов EMP и EMA следует, что угол PEF равен углу MEA (как вертикальные углы).

5. Рассмотрим треугольник FME. Мы знаем, что угол PEF равен углу MEA.
Также, угол MEP является вертикальным углом к углу FMP, что означает, что угол MEP равен углу FMP.

6. Теперь мы имеем два равенства углов: углы PEF и MEA равны, а также углы MEP и FMP равны.
Из этого следует, что треугольники PEF и MEA равны, а также треугольники MEP и FMP равны.

7. Из равенства треугольников PEF и MEA следует, что отрезок PF равен отрезку ME (по двум признакам равенства треугольников).
Из равенства треугольников MEP и FMP следует, что отрезок MP равен отрезку FE (по двум признакам равенства треугольников).

8. Теперь мы знаем, что отрезки PF и ME равны, а также отрезки MP и FE равны.
Но мы также знаем, что MP = PE (дано условием).

9. Следовательно, отрезок FP должен быть равен отрезку PE (по свойству равенства отрезков, если к двум равным прибавить равное, то и их сумма будет равна).

Таким образом, мы доказали, что если MP = PE, то FP = PE.