M - середина AB, K - середина CD. ABCD - выпуклый четырёхугольник.
Доказать: Smbkd = Sabcd : 2.

Для доказательства равенства "Smbkd = Sabcd : 2" нам понадобится использовать свойства серединных перпендикуляров и отрезков, а также свойство площади треугольника.

По определению, середина отрезка - это точка, которая делит данный отрезок пополам. В нашем случае, точка М является серединой отрезка АВ, а точка К - серединой отрезка СD.

Треугольник AMB образован сторонами AB и MB, а треугольник CBD - сторонами CD и DB. Также у нас есть четырехугольник ABCD, в котором AM и KC - серединные перпендикуляры.

Для начала, представим, что мы разбиваем четырехугольник ABCD на два треугольника AMB и CBD (см. первое изображение).

Так как точка M является серединой отрезка AB, то AM = MB. Аналогично, точка K является серединой отрезка CD, поэтому CK = KD.

Также, по свойству серединных перпендикуляров, AM ⊥ MB и CK ⊥ KD.

Мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить, умножив половину его основания на высоту, опущенную на эту основание.

В треугольнике AMB, по свойствам серединных перпендикуляров, высота MB является продолжением высоты CK. Таким образом, высоты треугольников AMB и CBD равны между собой.

Давайте обозначим высоту треугольников AMB и CBD как h.

Поэтому площадь треугольника AMB равна (AB × h) / 2, а площадь треугольника CBD также равна (CD × h) / 2.

Таким образом, площади треугольников AMB и CBD равны между собой. То есть, Sab = Scd.

Затем, рассмотрим четырехугольник MBKD (см. второе изображение). Этот четырехугольник также можно разделить на два треугольника - AMB и CBD, но теперь базой для вычисления высоты становится отрезок МК. Обозначим высоту этих треугольников как h2.

Таким образом, площадь треугольника AMB будет равна (MK × h2) / 2, а площадь треугольника CBD равна (MK × h2) / 2.

Заметим, что отрезок MK является точно таким же, как отрезок МА или МВ, так как точка М является серединой отрезка АВ. Аналогично, отрезок DK является точно таким же, как отрезок DС или DB.

Поэтому, площадь треугольника AMB равна площади треугольника CBD. То есть, Smb = Scd.

Теперь сравним площадь четырехугольников MBKD и ABCD. Мы знаем, что AMB и CKD - это основания этих двух четырехугольников. То есть, AMB = ABCD и CKD = ABCD.

Таким образом, площадь четырехугольника MBKD равна площади четырехугольника ABCD. То есть, Smbkd = Sabcd.

И наконец, подставляем найденные равенства площадей в изначальное выражение: Smbkd = Sabcd : 2.

Таким образом, мы доказали, что Smbkd равна половине площади четырехугольника ABCD.