Используя смешенное и векторное произведение вычислите V, Sоснования и H треугольной призмы ABCDA1B1C1D1 если А(2;-1;2) В(1;3;4) С(6;0;1) А1(4;2;0). Объём нашла

Даны вершины призмы А(2;-1;2) В(1;3;4) С(6;0;1) А1(4;2;0).

Площадь основания АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

Находим векторы. Точки А(2;-1;2) и В(1;3;4). АВ = (-1; 4; 2).

Точки  А(2;-1;2) и С(6;0;1). АС = (4; 1; -1).

Находим их векторное произведение.

  i         j        k|       i          j

-1        4        2|      -1        4

4        1         -1|       4        1  =  -4i + 8j  - 1k -1j  - 2i  - 16k =

                                                -6i + 7j - 17k.

Результатом векторного произведения является вектор n = (-6; 7; -17) - это нормальный вектор плоскости АВС.

Площадь S = (1/2)√(36 + 49 + 289) = (1/2)√374 =

                   = 19,33907961 / 2 = 9,66954 кв.ед.

Находим вектор АА1. Точки А(2;-1;2) и А1(4;2;0). АА1= (2; 3; -2).

Объём треугольной призмы, построенной на трех векторах равен половине модуля смешанного произведения векторов. Формула имеет вид:

Vтреугольной призмы=  (1/2) ⋅|аbс|.

Находим смешанное произведение (АВхАС)*АА1.

    n = (-6; 7; -17)

АА1= (2; 3; -2)  

       -12 + 21 + 34 = 43.

Объём призмы V = (1/2)*43 = 21,5 куб.ед.

Высоту определим из формулы объёма призмы V = SoH.

Высота Н = V/So = (43/2)*/((1/2)√374) = 43√374/374 ≈ 2,22348.