Два противоположных угла четырехугольника
тупые. Докажите, что соединяющая их диагональ
короче другой его диагонали?

Для доказательства данного утверждения, нам понадобятся некоторые основные свойства четырехугольников.

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, где угол ADB и угол BCD являются тупыми углами.

Шаг 1: Докажем, что углы ABD и CBD являются острыми углами.
Известно, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Поскольку углы ADB и BCD являются тупыми углами, их сумма будет больше 180 градусов.
Из этого следует, что сумма углов ADB и BDC будет меньше 180 градусов.
Учитывая, что CD является прямой, угол BDC будет составлять 180 градусов.
Таким образом, сумма углов ADB и BDC будет меньше 180 градусов, следовательно, углы ABD и CBD будут острыми.

Шаг 2: Докажем, что угол ABC является острым углом.
Известно, что углы в треугольнике суммируются до 180 градусов. Учитывая, что углы ABD и ADB являются острыми углами, их сумма будет меньше 180 градусов.
Таким образом, угол ABC будет острым.

Шаг 3: Докажем, что диагональ AC является большей, чем диагональ BD.
Используем теорему косинусов в треугольнике ABC:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(ABC).

Аналогично, используем теорему косинусов в треугольнике ABD:
BD² = AB² + AD² - 2 * AB * AD * cos(ABD).

Из определения тупого угла следует, что cos(ABD) < 0, поскольку угол ABD является тупым. Это означает, что cos(ABD) < cos(ABC), так как угол ABC является острым.

Теперь мы можем сравнить выражения для AC² и BD²:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(ABC),
BD² = AB² + AD² + 2 * AB * AD * cos(ABD).

Обратите внимание, что в обоих выражениях присутствует разность со знаком "-", и в обоих случаях мы вычитаем положительное число.
Теперь, так как cos(ABD) < cos(ABC), то в выражении для AC² второе слагаемое AB * BC * cos(ABC) будет меньше, чем в выражении для BD² второе слагаемое AB * AD * cos(ABD).

Из этого следует, что в выражении для AC² меньший отнимаемый элемент, по сравнению с выражением для BD². Таким образом, AC² будет меньше, чем BD².

Значит, соединяющая тупые углы диагональ AC будет короче, чем другая диагональ BD.