.(Доказать, что если диоганали четырехугольника делятся точкой пересечения попалам, то это параллеограм).

Треугольники, образованные стороной и двумя половинками диагоналей, равны по двум сторонам и углу между ними (вертикальные углы равны), поэтому противоположные стороны попарно равны, что является признаком параллелограмма..

Пусть дан четырехугольник ABCD и AO=CO, BO=DO, где точка О - точка пересечения диагоналей АС и BD

Треугольники AOB и СOD равны за двумя сторонами и углом между ними,

AO=CO, OВ=OD,углы AOB и СOD равны как вертикальные

Треугольники AOD и COB равны за двумя сторонами и углом между ними,

AO=CO, OВ=OD,углы AOB и СOD равны как вертикальные

С равенства треугольников получаем равенство углов

угол BAC=уголDCA

уголDAC=уголBCA

з их равенства следует(они будут внутренними разносторонними)

что прямые AB и CD, AD и BC - паралельны,

а значит четырехугольник паралелограмм, доказано.