Дано: abcd -ромб , ht||ab , mp||bc докозатьтельстово: s(amot): s(moho)=​

Дано, что ABCD - ромб, что означает, что все его стороны равны между собой: AB = BC = CD = DA. Также известно, что HT || AB и MP || BC, то есть отрезки HT и AB параллельны, а отрезки MP и BC также параллельны.

Мы хотим доказать, что отношение площади треугольника SAMOT к площади треугольника MOHO совпадает, то есть S(SAMOT) : S(MOHO) = 1 : 1.

Для начала заметим, что точки H и T лежат на стороне AB ромба, а точки M и P лежат на стороне BC ромба. Поскольку HT || AB и MP || BC, то треугольник SAMOT подобен треугольнику MOHO по теореме о параллельных прямых, которая говорит, что если две прямые параллельны, то их пересекаемые прямые также параллельны и соответствующие углы равны.

Теперь, чтобы доказать равенство площадей S(SAMOT) и S(MOHO), нам нужно доказать равенство их высот. Для этого рассмотрим отрезки SH и TB.

Из свойств ромба можно сделать следующие наблюдения:
1) Точка H лежит на отрезке AB, который является диагональю ромба. Это значит, что треугольник SHA является прямоугольным с прямым углом в H и с гипотенузой SH.
2) Также, поскольку AB является диагональю ромба, то отрезок HT является высотой треугольника SHA, проведённой из вершины A к стороне HT.

Аналогичные наблюдения можно сделать для треугольника MPO и отрезков MP и PBO.

Теперь, поскольку треугольники SAMOT и MOHO подобны и имеют равные соответствующие углы, а также соответствующие стороны пропорциональны, мы можем сделать следующий вывод:
1) HT/AB = SH/SA и MP/BC = PO/OB.
2) Поскольку AB = BC (так как ABCD - ромб), то HT = MP.
3) Также, поскольку SA = OB (так как вершины S и O являются вершинами ромба), то SH = PO.

Теперь мы можем заметить, что треугольники SHA и PBO равны по двум сторонам и между ними заключённого угла, так как SH = PO, HT = MP и углы SHA и PBO равны (они соответственно прямые углы в обоих треугольниках).
Отсюда можно заключить, что эти треугольники равны по стороне-уголу-стороне (SUS), что означает, что они имеют равные площади.

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников SAMOT и MOHO равны, то есть S(SAMOT) : S(MOHO) = 1 : 1.