Дана правильная трёхугольная усеченная пирамида с основаниями 2см и 6см. Между боковым ребром и основанием находится угол 60°. Нужно найти высоту.

ответ: 4 см

Объяснение:

Пусть O и O1 - точка пересечения медиан или высот правильных треугольников-оснований  ΔA1B1C1 и ΔABC в правильной усеченной треугольной пирамиде ABCA1B1C1.

Поскольку пирамида правильная, то если провести перпендикуляр к плоскости ABC через точку O, то она пересечет и точку O1, иначе говоря, OO1 - выcота пирамиды, а угол 60° между боковым ребром и основанием ABC является углом между AA1 и A1O1.

Как видим, задача нахождения высоты h эквивалентна нахождению высоты трапеции A1AOO1 с высотой AR (смотрите рисунок).

Поскольку треугольники оснований правильные, то длины их медиан равны: 2*√3/2 = √3 cм  и  6*√3/2 = 3√3 см, а поскольку точка пересечения медиан делит медианы в отношении 2:1 cчитая от вершины, то

AO = 2√3/3 см;  A101 =2√3 см

Откуда:

A1R = 2√3 - 2√3/3 = 4√3/3 см

Таким образом:

h = A1Rtg(60°) = 4√3/3 * √3 = 4 см