Дана правильная пирамида SABCD с основанием ABCD, все рёбра равна 1. Точки E и K - середины отрезков BS и SC соответственно.
а) докажите, что высота пирамиды SO равна (√2)/2
б) Найдите угол между прямыми AE и BK

Данная задача связана с геометрией и требует использования некоторых свойств и формул.

Чтобы решить её, нам потребуется использовать несколько геометрических свойств.

а) Докажем, что высота пирамиды SO равна (√2)/2.

1. Обратимся к треугольнику SBO. Из условия задачи известно, что треугольник SBO является прямоугольным, так как стороны SB и BO являются радиусами окружности, описанной вокруг основания пирамиды ABCD, а в такой окружности они всегда являются перпендикулярными.

2. Треугольник SBO является равнобедренным, так как равны рёбра пирамиды SA и SB.

3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из углов между гипотенузой и любым катетом равен 45 градусам. Следовательно, угол SBO равен 45 градусам.

4. Рассмотрим треугольник SOB. В нём известны два угла: угол SBO, равный 45 градусам, и прямой угол между ребрами SO и OB. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Тогда третий угол, угол SOB, будет равен 180 - 45 - 90 = 45 градусов.

5. Так как треугольник SOB является равнобедренным, то угол между сторонами SO и OB равен углу между сторонами SO и SB. Следовательно, угол между SO и SB также равен 45 градусам.

6. Поместим треугольник SOB в плоскость, расположенную в пирамиде так, чтобы сторона SB совпадала с острием пирамиды и выходила из плоскости основания ABCD. Тогда прямая SA, проведенная из вершины S, будет пересекать линию, проходящую через основание пирамиды и параллельную стороне BC. Поскольку угол между сторонами SO и SB равен 45 градусам, а треугольник SBO равнобедренный, то угол между SA и Базисом ABCD также равен 45 градусам.

7. Таким образом, треугольник SAO является равнобедренным с углами 45-45-90.

8. В равнобедренном треугольнике соотношение между гипотенузой и катетом равно (√2)/2. Гипотенузой в треугольнике SAO является отрезок SO, который является высотой пирамиды. Таким образом, высота пирамиды SO равна (√2)/2.

б) Теперь найдем угол между прямыми AE и BK.

1. Рассмотрим плоскость, проходящую через основание пирамиды ABCD и параллельную стороне AB. Проведем прямую, проходящую через точки E и K, которая будет пересекать сторону AB. Обозначим эту точку пересечения как M.

2. Рассмотрим треугольник BAM. Из геометрических свойств можно сказать, что данный треугольник является равнобедренным. Раз он равнобедренный, то углы BAM и BMA являются равными, и оба они равны углу MBA. Также из равнобедренности треугольника следует, что отрезки BM и MA равны между собой.

3. Треугольник KBC является равнобедренным, так как объем пирамиды SABCD равен, и точка K - середина стороны SC. Значит, углы KBC и KCB равны, и оба они равны углу BKC. Также отрезки KB и BC равны между собой, так как это равнобедренный треугольник.

4. Рассмотрим треугольник KBA. Здесь угол BKA является искомым углом между прямыми AE и BK, и нам нужно найти его. Из рассуждений выше, угол BMA равен углу BKC, так как они являются углами треугольников BAM и KBC соответственно.

5. Так как треугольник BAM равнобедренный, то у каждого бокового угла, то есть угла MBA и BMA, сумма равна половине прямого угла, то есть 45 градусам.

6. Таким образом, множество углов, сумма которых равна прямому углу BMA, состоит из двух углов BKA и KMB. Обозначим искомый угол BKA как α.

7. Из предыдущих рассуждений следует, что α + 45 + 45 = 90, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов и угол BMA состоит из трех углов, равных 45 градусам каждый.

8. Из этого получаем, что α = 90 - 45 - 45 = 0. Таким образом, искомый угол BKA равен 0 градусов.

Ответ:
а) Высота пирамиды SO равна (√2)/2.
б) Угол между прямыми AE и BK равен 0 градусов.