Дана : 'основание прямой четырехугольной призмы abcda1b1c1d1 - прямоугольник abcd, в котором ab=12,ad=корень из 31.найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра ad
перпендикулярно прямой bd1, если расстояние между прямыми ac и b1d1 равно 5.

высота призмы H = DD₁ = d(AC, B₁D₁) = 5 
BD² = AB² + AD² = 175 
BD₁ = √(BD² + DD₁²) = 10√2 
α - плоскость, проходящая через середину ребра АВ перпендикулярно прямой BD₁ 
cos(∠(BD₁, ABCD)) = cos(∠DBD₁) 
cos(∠(α, ABCD)) = сos(90 - ∠DBD₁) = sin(∠DBD₁) = DD₁/BD₁ = 5/(10√2) = (√2)/4 
ответ: (√2)/4 

высота (призмы):

h = DD1 = d*(AC, B1D1) = 5 
BD² = AB² + AD² = 175
BD1 = корень из(BD² + DD1²) = 10*корень из 2 
α - плоскость
кос(угла(BD1, ABCD)) = кос(угла DBD1) 
кос(угла (α, ABCD)) = кос(90 - угла DBD1) = син(угла DBD1 = DD1/BD1 = 5/(10*корень из 2) = (корень из 2)/4