Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 Найдите угол между прямыми A1B и C1D если AD=3 см, AC=5СМ,AA1=4√3см

В данном вопросе нам нужно найти угол между прямыми A1B и C1D. Для начала, давайте разберемся с основными свойствами прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед имеет три пары параллельных граней. Одна из этих граней называется базой, ее мы обозначим как ABCD. Две оставшиеся пары граней называются боковыми гранями. Боковые грани представлены парами ребер, перпендикулярных к базе. В нашем случае боковыми гранями будут A1B1C1D1 и A1BC1D1.

Угол между двумя прямыми можно найти с помощью формулы cos θ = (AB · CD) / (|AB| · |CD|), где AB и CD - векторы прямых. Мы можем найти эти векторы, если знаем координаты точек A1B и C1D.

Давайте разберемся с координатами точек. Мы знаем, что AD = 3 см, AC = 5 см и AA1 = 4√3 см. Давайте введем промежуточные точки E и F, чтобы разделить прямую A1B на отрезки AE и EF, и прямую C1D на отрезки CF и FD.

Так как AD = 3 см, мы можем найти координату точки D. Для простоты представим, что точка A находится в начале координат, тогда координаты D будут (0, 0, 3).

Зная длину вектора AC, мы можем найти координату точки C. Координаты точки C будут (0, 5, 0).

Теперь давайте найдем координату точки A1. Так как длина вектора AA1 равна 4√3 см, мы можем использовать треугольник AAD1, чтобы найти координату точки A1. Координаты точки A1 будут (4√3, 0, 3).

Давайте продолжим и найдем координаты точки B. Так как точка B находится на прямой A1B, мы можем использовать отношение AE : EB, чтобы найти координату точки B. Отношение AE : EB равно (AB - AE) : EB, где AB - длина вектора AB. Так как длина вектора AB равна 4√3 см, мы можем решить уравнение (4√3 - AE) / EB = AE / EB.

Теперь нам нужно найти длину вектора AE. Так как точка A находится в начале координат, координаты точки E будут (4√3, 0, 0). Тогда длина вектора AE будет равна √((4√3)^2 + 3^2) = √(48 + 9) = √57 см.

Длина вектора EB будет AB - AE = 4√3 - √57 см.

Подставим найденные значения в уравнение (4√3 - √57) / (4√3 - √57) = √57 / (4√3 - √57). После простых алгебраических преобразований найдем EB = 1 см.

Теперь у нас есть координаты точек A1 и B. Мы можем найти вектор A1B, используя (B - A1). Так как A1 = (4√3, 0, 3) и B = (4√3, 1, 3), вектор A1B будет (4√3, 1, 0).

Аналогично, мы можем найти координату точки C1. Так как точка C1 находится на прямой C1D, мы можем использовать отношение CF : FD, чтобы найти координату точки C1. Отношение CF : FD равно (C1F - CF) : FD, где C1F - длина вектора C1F. Так как длина вектора C1F равна 5 см, мы можем решить уравнение (5 - CF) / FD = CF / FD.

Теперь нам нужно найти длину вектора CF. Так как точка C находится в начале координат, координаты точки F будут (0, CF, 0). Тогда длина вектора CF будет равна √(CF^2 + 5^2) = √(CF^2 + 25) см.

Длина вектора FD будет AC - CF = 5 - √(CF^2 + 25) см.

Подставим найденные значения в уравнение (5 - √(CF^2 + 25)) / (5 - √(CF^2 + 25)) = √(CF^2 + 25) / (5 - √(CF^2 + 25)). После простых алгебраических преобразований найдем FD = 1 см.

Теперь у нас есть координаты точек C1 и D. Мы можем найти вектор C1D, используя (D - C1). Так как C1 = (0, 0, 0) и D = (0, 0, 3), вектор C1D будет (0, 0, 3).

Теперь мы можем найти угол между векторами A1B и C1D, используя формулу cos θ = (A1B · C1D) / (|A1B| · |C1D|), где · - скалярное произведение.

Вычислим скалярное произведение A1B и C1D:
(4√3 · 0) + (1 · 0) + (0 · 3) = 0.

Вычислим длины векторов A1B и C1D:
|A1B| = √((4√3)^2 + 1^2 + 0^2) = √(48 + 1 + 0) = √49 = 7 см,
|C1D| = √(0^2 + 0^2 + 3^2) = √9 = 3 см.

Подставим найденные значения в формулу cos θ = 0 / (7 см * 3 см) и получим cos θ = 0.

Теперь нам нужно найти угол θ, используя обратный косинус (арккосинус) функции cos θ. θ = arccos(0) = 90°.

Таким образом, угол между прямыми A1B и C1D равен 90°.