DABC-правильная пирамида, DO ┴ (ABC), CK ┴ AB, AM ┴ BC , BN ┴ AC
O1 и O2 - точки пересечения медиан треугольников ABD и BCD соответственно,
O1O2 = 2. Найдите S основания

Для начала давайте визуализируем данную информацию, чтобы легче было понять задачу. Данная задача рассматривает треугольник ABC, где D - основание пирамиды DABC , а К , М и N - основания высот треугольника ABC.

1. Поскольку OD перпендикулярен плоскости ABC и является высотой треугольника ABC, то точка О1 - это медиана треугольника ABD, которая проходит через вершину D и середину стороны AB.
2. Аналогично, поскольку OD перпендикулярен плоскости ABC и является высотой треугольника ABC, то точка O2 - это медиана треугольника BCD, которая проходит через вершину D и середину стороны BC.
3. Предположим, что точка K1 - это середина стороны AB, а точка K2 - середина стороны BC. Тогда треугольник AKB - это треугольник, находящийся полностью в плоскости ABC и имеющий две его стороны. Аналогично, треугольник BKC - это треугольник, находящийся полностью в плоскости ABC и имеющий две его стороны.
4. Также, поскольку АМ перпендикулярна BC и является высотой треугольника ABC, то точка М - это основание высоты треугольника ABC, которая проходит через вершину А и пересекает строну BC.
5. Аналогично, поскольку BN перпендикулярна AC и является высотой треугольника ABC, то точка N - это основание высоты треугольника ABC, которая проходит через вершину В и пересекает строну AC.

Теперь, нам нужно найти S основания, то есть площадь основания пирамиды DABC. Заметим, что основание пирамиды DABC образует четырехугольник, ограниченный сторонами AK1, K1B, BN и NA.

Для нахождения S основания, мы можем разделить данный четырехугольник на два треугольника - треугольник AK1B и треугольник BNА и вычислить площадь каждого треугольника.

1. Площадь треугольника AK1B:
Для начала найдем длины его сторон. Заметим, что сторона AK1 является половиной стороны AB, а сторона K1B также является половиной стороны AB. Поскольку сторона AB имеет длину, равную длине стороны AC, то стороны AK1 и K1B также будут иметь длину, равную половине длины стороны AC.
Площадь треугольника AK1B можно вычислить, используя формулу площади треугольника S = (1/2) * base * height, где основание - это сторона AK1, а высота - это расстояние от стороны AK1 до вершины В. Расстояние от стороны AK1 до вершины В равно расстоянию от стороны AK1 до высоты BN, так как BN является высотой треугольника ABC, проходящей через вершину В. Таким образом, площадь треугольника AK1B равна S = (1/2) * (AK1) * (BN).

2. Площадь треугольника BNА:
Для начала найдем длины его сторон. Заметим, что сторона BN является половиной стороны AC, а сторона NA также является половиной стороны AC. Поскольку сторона AC имеет длину, равную длине стороны AB, то стороны BN и NA также будут иметь длину, равную половине длины стороны AB.
Площадь треугольника BNА можно также вычислить, используя формулу площади треугольника S = (1/2) * base * height, где основание - это сторона BN, а высота - это расстояние от стороны BN до вершины А. Расстояние от стороны BN до вершины А равно расстоянию от стороны BN до высоты AK1, так как AK1 является высотой треугольника ABC, проходящей через вершину А. Таким образом, площадь треугольника BNА равна S = (1/2) * (BN) * (AK1).

Теперь найдем площадь S основания, сложив площади треугольников AK1B и BNА.
S основания = S треугольника AK1B + S треугольника BNА = (1/2) * (AK1) * (BN) + (1/2) * (BN) * (AK1).

Так как из условия дано, что O1O2 = 2, а O1 - точка пересечения медиан треугольника ABD, а O2 - точка пересечения медиан треугольника BCD, то из свойств медиан треугольников следует, что O1O2 пропорционально сторонам треугольника BCD и ABD. Таким образом, AK1 также будет равно 2, а BN будет равно 1.
Подставляя эти значения в формулу, получим:
S основания = (1/2) * (2) * (1) + (1/2) * (1) * (2) = 1 + 1 = 2.

Таким образом, площадь основания пирамиды DABC равна 2.