Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны 5 см, 7 см, 10 см. найди площадь полной поверхности и объем пирамиды.

В качестве основания берем прямоугольный треугольник со сторонами  
пусть CA=5 см и CB=10 см ,высота пирамиды  будет CD = 7 см , действительно , DC ⊥ CA ;DC ⊥ CB ⇒DC⊥ плоскости (ABC) .
V =1/3 *(5*10)/2 *7 =175/3 (см³) .   * * * 58 1/3 * * *

Sпол = S(ACD) + S(BCD) +S(ABC)+S(ADB) .
S(ACD) =AC*CD/2 =5*7/2 = 17,5 (см²)  ;
S(BCD) =BC*CD/2 =10*7/2= 35 (см²) ;
S(ABC) =AC*BC/2 = 5*10/2 =25 (см²) .
Площадь треугольника ADB можно вычислить по формуле Герона                 (известны AB =√125 ; AD=√74 ; BD =√149 )  , но арифметика скучная  ...
Поэтому  поступаем иначе ; из вершины прямого угля С треугольника ABC  проводим высоту  CH  ⊥  AB  и  H соединим  с вершиной  D.
AB ⊥ HC ⇒ AB ⊥ HD  (HC проекция HD) ,<CHD =α.)
S(ABC) =S(ADB)*cosα ⇒ S(ADB)= S(ABC)/cosα =25/cosα.
S(ABC) =AC*BC/2 = AB *СН/2 ⇒ СН =5*10/√125 =10/√5 =2√5 .
Из ΔHCD по теореме Пифагора  CD = √(CH²+CD²) =√((2√5)² +7²) =√69;
cosα =CH/CD =2√5/√69 ;
S(ADB)= 25/cosα =25√69/2√5 =2,5√345  (см²) . 
Таким образом окончательно
Sпол =(77,5  +2,5√345 ) см².

ответ :   ( 77,5 +2,5√345)  см²  ,  175/3 см³.