ABC - трапеция. Прямые ВВ1 и СС1 перпендикулярны плоскости АВС. АВ=С D= 15.
S(AB1C1D) = 108√3 . Найти угол между плоскостями ABC и АВ1С1

(Есть фото чертежа)

Для решения данной задачи нужно использовать свойства трапеции и плоскости.

По условию, трапеция ABC имеет прямые ВВ1 и СС1, которые перпендикулярны плоскости АВС.

Для начала, найдем длину боковой стороны AD. Поскольку AB = CD, а AD = AB - BC, то AD = CD - BC = 15 - BC.

Следующий шаг - найти площадь четырехугольника AB1C1D (S(AB1C1D)). По свойству трапеции площадь четырехугольника равна половине произведения суммы оснований на высоту. В данной задаче основания - AB1 и C1D, а высота - BD. Значит, S(AB1C1D) = 1/2 * (AB1 + C1D) * BD.

Также известно, что S(AB1C1D) = 108√3. Подставим данное значение и выразим BD:
108√3 = 1/2 * (AB1 + C1D) * BD.

Теперь найдем BD. Поскольку BD - это высота трапеции ABC, то радиус R вписанной окружности находится на расстоянии BD от основания ABC.

Для нахождения R, воспользуемся формулой для площади трапеции ABC через радиус вписанной окружности: S(ABC) = (AB + CD) * R / 2.

Подставим значения AB и CD, а также известную площадь S(ABC) = 108√3 и найдем R:
108√3 = (AB + CD) * R / 2.

Известно, что AB = CD, значит AB + CD = 2AB или 2CD, а значит формула примет вид:
108√3 = 2AB * R / 2.

Таким образом, мы получили AB * R = 108√3.

Далее, найдем высоту BD при помощи площади трапеции AB1C1D, зная, что прямые ВВ1 и СС1 перпендикулярны плоскости ABC и Р.

Так как ВВ1 и СС1 перпендикулярны плоскости АВС, то ВВ1 параллельна AB и СС1 параллельна CD. Если провести высоту BH, она будет перпендикулярна ВВ1, а значит, она будет проходить через центр вписанной окружности точку O.
В результате получим прямоугольный треугольник ВОН прямого угла при Н.
Тогда BH является высотой трапеции AB1C1D, значит BD = BH.

На основе прямоугольного треугольника ВОН можем применить теорему Пифагора для нахождения BH.

Так как ВВ1 и СС1 перпендикулярны плоскости АВС, то треугольник ВВ1СС1 является прямоугольным треугольником ВВ1С.

Поэтому применим теорему Пифагора в треугольнике ВВ1С.
ВВ1^2 = BV^2 + V1C^2, где BV - основание прямоугольного треугольника, а V1C - высота прямоугольного треугольника.

Используя свойство трапеции AB1C1D и равенство BV = DV1 получаем:
BV^2 = BD * DV1. Так как BD = BH, то BV^2 = BH * DV1.

Таким образом, мы получили уравнение BV^2 = BH * DV1.

Мы знаем, что BV = DV1 на основании равенства BV = CD и DV1 = AB. Поэтому BV^2 = BH * AB.

Теперь можем приступать к нахождению угла между плоскостями ABC и AB1C1.

Для нахождения угла между двумя плоскостями необходимо найти косинус этого угла, применяя формулу косинуса угла между двумя векторами:

cos(α) = (AB1C1 * ABC) / (|AB1C1| * |ABC|), где AB1C1 и ABC - векторные произведения плоскостей.

Найдем сначала векторные произведения плоскостей.

Для этого сначала найдем нормальные векторы плоскостей AB1C1 и ABC.

Нормальный вектор плоскости AB1C1 (N1) можно найти как векторное произведение двух сторон этой плоскости.
Возьмем две стороны: AB1 и AC1.
Найдем их координаты векторно:
AB1 = (B1 - A) = (0 - 4, -4 - 0, 4 - 4) = (-4, -4, 0),
AC1 = (C1 - A) = (0 - 4, 0 - 4, -4 - 4) = (-4, -4, -8).

Теперь найдем нормальный вектор плоскости AB1C1 (N1) как векторное произведение AB1 и AC1.

N1 = AB1 x AC1 = (-4, -4, 0) x (-4, -4, -8) = (32, -32, 0).

Теперь найдем нормальный вектор плоскости ABC (N2) аналогичным образом, используя стороны AB и AC.

AB = (B - A) = (0 - 4, -1 - 0, 4 - 4) = (-4, -1, 0),
AC = (C - A) = (0 - 4, 0 - 0, -4 - 4) = (-4, 0, -8).

N2 = AB x AC = (-4, -1, 0) x (-4, 0, -8) = (8, 32, 4).

Теперь найдем модули этих векторов:
|N1| = sqrt(32^2 + (-32)^2 + 0^2) = sqrt(1024 + 1024 + 0) = sqrt(2048) = 32√2,
|N2| = sqrt(8^2 + 32^2 + 4^2) = sqrt(64 + 1024 + 16) = sqrt(1104) = 4√69.

Далее, найдем скалярное произведение этих векторов:
N1 * N2 = 32√2 * 4√69 * cos(α), где α - угол между плоскостями.

Теперь можем выразить cos(α):

cos(α) = (N1 * N2) / (|N1| * |N2|)
= (32√2 * 4√69) / (32√2 * 4√69)
= 1.

Таким образом, мы получили, что cos(α) = 1. Решим уравнение cos(α) = 1:

cos(α) = 1,
α = arccos(1),
α = 0.

Таким образом, угол между плоскостями ABC и AB1C1 равен 0 градусов.