ABC ~ A1B1C1, высота из точки C - h, биссектриса - b, медиана - m. В треугольнике A1B1C1, соответственно, h1,b1,m1. Докажите, что h1/h = m1/m = b1/b = k.

ABC ~ A1B1C1, высота из точки C - h, биссектриса - b, медиана - m. В треугольнике A1B1C1, соответств

Ответы

Saint228 11.05.2021 16:07

ABC ~ A1B1C1, высота из точки C - h, биссектриса - b, медиана - m. В треугольнике A1B1C1, соответственно, h1,b1,m1. Докажите, что h1/h = m1/m = b1/b = k.

Объяснение: Т.к. ABC ~ A₁B₁С₁ то

- сходственные стороны пропорциональны $\frac{AB}{A_1B_1} =\frac{BC}{B_1C_1} =k$ (@) ⇒ $\frac{B M}{B_1M_1} =\frac{BC}{B_1C_1} =k$ (**) , тк М-середина АВ;

- соответственные углы равны ∠В=∠B₁ ⇒ половины этих углов тоже равны ∠ВСК=∠B₁С₁К₁ (*).

1) ΔСВН ~ ΔС₁В₁Н ₁ по 2-м углам : ∠В-общий , ∠СНВ =∠С₁Н₁В₁=90° ⇒ сходственные стороны пропорциональны $\frac{BC}{B_1C_1} =\frac{h}{h_1}$ .

2) ΔСВК ~ ΔС₁В₁К ₁ по 2-м углам : ∠В-общий , ∠КСВ =∠К₁С₁В₁ ( см *) ⇒сходственные стороны пропорциональны $\frac{BC}{B_1C_1} =\frac{b}{b_1}$ .

3) ΔСВM ~ ΔС₁В₁M ₁ по 2-м пропорциональным сторонам и равному углу между ними : ∠В-общий , $\frac{B M}{B_1M_1} =\frac{BC}{B_1C_1}$ ( см **) ⇒сходственные стороны пропорциональны $\frac{BC}{B_1C_1} =\frac{m}{m_1}$ .

Итак, учитывая п. 1)2)3) получили

$\\\frac{BC}{B_1C_1} =\frac{b}{b_1}=\frac{h}{h_1} =\frac{m}{m_1} \\\\\frac{B_1C_1}{BC} =\frac{b_1}{b}=\frac{h_1}{h} =\frac{m_1}{m}$ ,учитывая (@) получаем , $k=\frac{b_1}{b}=\frac{h_1}{h} =\frac{m_1}{m}$ .