5. Образующая конуса 5м и образует с плоскостью основания угол в 30 град. Найти объем конуса. ​

Конус.

L = РА = 5 (м).

∠РАО = 30°.

V - ? (м³).

V = (1/3)πR²h

Осевое сечение этого конуса (если ось плоскость проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота ВН делит этот равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных △АРО и △ВРО (их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что △АРВ - равнобедренный)

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

⇒ РО = Н = 5/2 = 2,5 (м).

Найдём радиусы АО и ВО, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза, а, b - катеты).

b = √(c² - a²) = √(5² - 2,5²) = √(25 - (5/2)²) = √(25 - 25/4) = √75/4 = √75/2 = 5√3/2 (м).

Итак, АО = ВО = 5√3/2 (м).

V = π((5√3/2)² ⋅ 2,5 ⋅ 1/3) = π(25/4 ⋅ 5/2 ⋅ 1/3) = 125/8π = 15,625π (м³).