На координатной плоскости хОу отметьте точки О(0; 0), А(–6; 0), В(0; –2), С(–2; 3), D(4; 5). а) Выразите через векторы и следующие векторы: ; ; ; . Запишите их координаты.
б) От точки М(2; 3) отложите векторы и . Найдите длины векторов и .
в) Изобразите вектор . Пусть числа cх и cу — проекции вектора на оси координат. Найдите эти числа. Пусть и — величины углов, которые вектор образует с осями координат. Найдите и .

а)
Вектор между точками O(0;0) и A(-6;0) равен: OA = (-6 - 0; 0 - 0) = (-6;0)

Вектор между точками O(0;0) и B(0;-2) равен: OB = (0 - 0; -2 - 0) = (0;-2)

Вектор между точками O(0;0) и C(-2;3) равен: OC = (-2 - 0; 3 - 0) = (-2;3)

Вектор между точками O(0;0) и D(4;5) равен: OD = (4 - 0; 5 - 0) = (4;5)

б)
Отложим вектор BC от точки M(2;3):

BM = M - B = (2 - 0; 3 - (-2)) = (2;5)

MC = C - M = (-2 - 2; 3 - 3) = (-4;0)

Длина вектора BM равна: |BM| = √(2^2 + 5^2) = √(4 + 25) = √29

Длина вектора MC равна: |MC| = √((-4)^2 + 0^2) = √(16) = 4

в)
Чтобы изобразить вектор OD на координатной плоскости, начинаем из точки O(0;0) и проводим стрелку с координатами OD = (4;5). Таким образом, конечная точка вектора OD будет иметь координаты (4;5).

Проекция вектора OD на ось х (горизонтальная ось) равна cх = 4.

Проекция вектора OD на ось у (вертикальная ось) равна cу = 5.

Угол, который вектор OD образует с осью х, обозначим как α. Тогда tan(α) = cу / cх = 5/4. Чтобы найти угол α, возьмем арктангенс от 5/4: α = arctan(5/4) ≈ 51.34°.

Угол, который вектор OD образует с осью у, обозначим как β. Тогда tan(β) = cх / cу = 4/5. Чтобы найти угол β, возьмем арктангенс от 4/5: β = arctan(4/5) ≈ 38.66°.