№1
Решите задачу. Сделайте чертеж и полное решение с объяснениями и выводами.
Дано:
AB⌒CД=O, AO=BO, CO=ДO
CO=6см, ВО=5см, ВД=7см
Найдите периметр △САО

№2
На стороне АС как на основании построены по одну сторону от нее два равнобедренных треугольника АМС и АРС.
Докажите, что прямая МР пересекает сторону АС в ее середине.

№3
В окружности с центром в точке О проведена хорда АВ. ∠AOB=116° .
Найдите ∠OAB и ∠OBA.

№4
Проведите доказательство. Сделайте чертеж. При доказательстве не забывайте писать пояснения.
В окружности с центром в точке О проведены две хорды ЕМ и NF, EM=NF, ОР⊥ЕМ, ОD⊥NF.
Докажите, что ОР=ОD.

№5
Решите задачу. Выполните чертеж и полное решение.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 42 см, а периметр треугольника АВМ равен 34 см.

№1:
Дано: AB⌒CД=O, AO=BO, CO=ДO
CO=6см, ВО=5см, ВД=7см

Периметр △САО можно найти, сложив длины всех трех сторон.
Периметр △САО = СА + АО + CO

В данном случае нам даны длины сторон ВО и ВД, а не СА.
Но мы можем выразить СА через ВО и ВД, используя теорему Пифагора.
Вспомним, что является основанием для этих треугольников - это сторона АС.
Вспомним также, что AM и AR - равнобедренные треугольники. Значит, их боковые стороны равны друг другу.
Используя это, мы можем выразить СА через ВО и ВД.
СА = СМ + MA = СР + RA

Теперь нам нужно выразить CM и CR через ВО и ВД:
Так как AM и AR - равнобедренные, то их основания (МС и РC соответственно) равны половине основания ВС.
В то время как основание ВС равно ВО + ВД.
То есть, МС = (ВО + ВД) / 2 и РС = (ВО + ВД) / 2

Теперь мы можем выразить СА через ВО и ВД:
СА = СМ + MA = (ВО + ВД) / 2 + MA
Так как периметр △САО = СА + АО + CO, мы имеем:
Периметр △САО = (ВО + ВД) / 2 + MA + АО + CO

Остается только выразить MA из заданной информации.
Мы знаем, что AO=BO = 5 см и CO = 6 см.
Из данной информации, мы можем найти меру угла ∠ВОС, так как он является центральным.

Найдем меру угла ∠ВОС:
∠ВОС = 360° - 2 * ∠ВОСO = 360° - 2 * 116° = 128°

Известно, что в треугольнике СОВ сумма всех углов равна 180°. Зная два угла этого треугольника, мы можем найти третий угол.
∠В = 180° - ∠ВОС - ∠ОВС = 180° - 128° - 116° = 64°

Теперь мы можем найти угол ∠А.
∠А = 180° - ∠В = 180° - 64° = 116°

Теперь можем выразить MA и подставить его в формулу периметра △САО.
Мы снова используем теорему Пифагора для вычисления длины стороны АМ.
Так как AM = √(AO^2 - MA^2), а AO = BO = 5 см и MA - то, что мы хотим найти.

Продолжение следует...