1)основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямоугольника на его диагональ, делит ее в отношении 3: 1. найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны, если диагональ равна 8 см. (м. № 52)

2)смежные углы между диагоналями прямоугольника соотносятся как 1: 2. найдите диагональ, если расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны прямоугольника равно 5 см полное объяснение с чертежом
заранее
8 класс

Объяснение:

  1)Обозначим данный прямоугольник АВСD. Отрезок ВК⊥АС. АК:КС=3:1. О - точка пересечения диагоналей. (см. рисунок приложения),

  Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. . АС=ВD=8, ВО=ОС=АО=ОD=4.

 Диагональ АС содержит 3+1=4 части, тогда СК=1 часть=8:4=2 см,⇒ КО=4-2=2 см. ВК - высота треугольника ВОС (перпендикулярна отрезку СО)  и делит его пополам. Следовательно, является его медианой, поэтому ∆ ВСО равнобедренный.  ВС=ВО. Но ВО=СО ⇒ ∆ СВО - правильный,  В ∆ ВОМ угол ОВМ=∠СВМ-СВО=90°-60°=30° Катет ОМ противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы ВО. ⇒ ОМ=АЕ=2 см.  

———————

2) Расстояние от точки до прямой равно длине проведенного к ней перпендикуляра. В прямоугольнике АВСD это отрезок ОМ.

Угол ВOD - развернутый и равен 180°. Сумма смежных углов ВОА и АОD  равна 1+2=3 части. ⇒ угол ВОА=1 часть=180°:3=60°.  По свойству диагоналей прямоугольника ВО=АО, поэтому углы при основании АВ равнобедренного ∆ ВОА равны (180°-60*):2=60°, из чего следует: в  прямоугольном ∆ ВОМ угол ОВМ=угол АВМ-угол АВО=90°-60°=30°.  Гипотенуза ВО в два раза больше катета, противолежащего углу 30° ⇒ ВО=10 см. ВО = половина диагонали. Диагональ ВD=2•10=20 см.