1. Даны точки (6;8) и (4;14). Найди координаты точек и , если известно, что точка — середина отрезка , а точка — середина отрезка .

(;);
(;).

2. Докажи, что четырёхугольник является прямоугольником, найди его площадь, если (13;4), (15;8), (7;12) и (5;8).

=.

1. Для нахождения координат точек и , которые являются серединами отрезков и соответственно, мы можем использовать формулу для нахождения среднего значения двух чисел:

Координаты точки — это среднее значение координат исходных точек на каждой оси. Таким образом, координата точки будет равна полусумме соответствующих координат исходных точек.

Дано, что точка — середина отрезка . Поэтому, координаты точки будут равны среднему значению координат точек и :

=

Аналогично, координаты точки будут равны среднему значению координат точек и :

=

Таким образом, точка имеет координаты (;) и точка имеет координаты (;).

2. Чтобы доказать, что четырёхугольник является прямоугольником, нам необходимо проверить, что все его стороны параллельны осям координат.

Для этого мы можем вычислить коэффициенты наклона прямых, проходящих через каждую сторону четырёхугольника, и убедиться, что они равны .

Сторона четырёхугольника соединяет точки и . Коэффициент наклона прямой, проходящей через эти точки, можно вычислить по формуле:

=

Где и являются координатами точек и соответственно.

Вычислим коэффициент наклона прямой, проходящей через точки (13;4) и (15;8):

=

Аналогично, вычислим коэффициент наклона прямой, проходящей через точки (7;12) и (5;8):

=

Поскольку оба коэффициента равны , это означает, что стороны четырёхугольника параллельны осям координат, что соответствует определению прямоугольника.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем использовать формулу:

Площадь = длина × ширина.

Длина прямоугольника можно найти, вычислив разность координат точек и :

Длина = − =

Ширина прямоугольника можно найти, вычислив разность координат точек и :

Ширина = − =

Теперь, подставим значения в формулу для нахождения площади:

Площадь = × = × =

Таким образом, площадь данного прямоугольника равна .