Измениться ли вес тела , если оно будет двигаться с ускорением в горизониальном направлении ?

Если под весом тела понимается воздействие тела на горизонтальную опору или подвес под действием только силы тяжести, то нет, - не изменится.

Если под весом тела принимать воздействие тела на опору или подвес под действием любой силы вообще, то, конечно, изменится.
Гонщики "Формулы-1", например, при движении испытывают горизонтальные перегрузки в поворотах, при разгоне и торможении доходящие до 6g. Это означает, что пилот, массой 80 кг, давит на спинку или боковую поверхность кресла с силой F=m*6g = 4704 (H), эквивалентной давлению тела массой 480 кг при нормальном ускорении. 

В разных источниках формулировки веса тела отличаются. В частности, в учебнике Б.Б.Буховцева, Ю.Л.Климонтовича, Г.Я.Мякишева «Физика, механика» (1971, § 49) на с. 102 читаем: «...вес тела определяется всей совокупностью действующих на тело сил, а не только силой тяготения (так, вес тела в жидкости или воздухе меньше, чем в вакууме из-за появления выталкивающей силы)».
Это определение можно проиллюстрировать следующим опытом: на край вращающегося столика ставится прозрачный стакан с водой. Можно видеть, как с увеличением частоты вращения поверхность воды все больше отходит от горизонтали в сторону внешнего края. Если стакан прочно закрепить на столике и выбрать для него достаточно выпуклую форму, то можно добиться такого положения воды, что она не будет покрывать дно стакана вообще и вся соберется на дальней от оси вращения стороне. В этом случае вода не будет действовать на горизонтальную опору или подвес, однако, о состоянии невесомости речь, понятное дело, тоже не идет.