В прямоугольнике ABCD AD = 1/2 AB, E ∈ CD, причем DE = 1/4DC. Используя векторы, докажите, что BD ⊥ АЕ.

Признаки царства Растения:
* Осуществляют фотосинтез 
* В основе мембраны клеток целлюлоза
* Основное запасаемой вещество - крахмал
* Рост идёт всю жизнь ( для многоклеточных)
* Неподвижны ( относительно, но это не столь важный пункт)

Ткань - группа клеток, имеющая одинаковое строение и функцию
Орган - совокупность тканей и клеток, выполняющая определённую функцию

Низшие растения не имеют разделения на части (лист, корень и прочее) всё их тело называется слоевищем или талломом, основной размножения - спорами и делением.
Высшие растения имеют разделение на различные органы, следовательно, более сложное строение; усовершенствован полового размножения.

Для доказательства, что BD ⊥ АЕ с использованием векторов, нам необходимо разобрать данные условия и применить свойства векторов для последующего решения.

1. В прямоугольнике ABCD длина стороны AD равна половине длины стороны AB. Обозначим вектором a сторону AB и вектором b сторону AD.
Таким образом, a = 2b.

2. Точка E находится на стороне CD и DE равна четверти длины DC. Обозначим вектор DE как d и вектор DC как c.
Тогда d = 1/4c.

3. Мы хотим доказать, что вектор BD ⊥ вектор AE. Значит, вектор BD и вектор AE должны быть перпендикулярны друг другу.

Для начала, найдем векторы BD и AE.

4. Вектор BD вычисляется путем вычитания вектора AB из вектора AD (BD = AD - AB).
BD = b - a.

5. Вектор AE вычисляется путем вычитания вектора DE из вектора DA (AE = DA - DE).
AE = b - d.

6. Проверим, перпендикулярность векторов BD и AE с помощью свойства векторного произведения.

Если векторное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы являются перпендикулярными.

7. Вычислим векторное произведение векторов BD и AE: (BD x AE) = (b - a) x (b - d).

Для вычисления векторного произведения используем формулу:
(BD x AE) = |i j k |
|b1 b2 b3|
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|
|d1 d2 d3|

где i, j, k - единичные вектора, a1, a2, a3, b1, b2, b3, d1, d2, d3 - координаты векторов.

8. Подставим координаты векторов:
(BD x AE) = |i j k |
|1 0 0 |
|2 0 0 |
|1 0 0 |
|1/4 0 0 |

9. Вычислим определитель этой матрицы:
(BD x AE) = |(0*0 - 0*0) - (0*0 - 0*0)|i - |(1*0 - 0*0) - (2*0 - 1*0)|j + |(1*0 - 0*0) - (2*1/4 - 1*0)|k
= |0 - 0|i - |0 - 0|j + |0 - 1/2|k
= 0*i - 0*j - 1/2*k
= -1/2*k

10. Итак, (BD x AE) = -1/2*k ≠ 0, что означает, что векторы BD и AE не являются параллельными.

11. Следовательно, BD ⊥ AE, что и требовалось доказать.

Таким образом, с использованием векторов мы показали, что вектор BD перпендикулярен вектору AE в данном прямоугольнике.