Решить неравенство a - x < корень из (x^2 + 9), при всех a >= 0

Сначала полезно представить график функции у = х + √(x^2 + 9). Поскольку √(x^2+9)>|x|,а при больших по модулю х этот корень примерно равен |x|, то на минус бесконечности график асимптотически прижимается к оси абсцисс сверху, затем плавно растёт, в точке (0;3) пересекает ось ординат, далее плавно растёт и на плюс бесконечности асимптотически прижимается к прямой у = 2х сверху. То есть это монотонно возрастающая функция.
К этому выводу можно прийти, рассмотрев её производную - она везде положительна (убедитесь в этом).

Теперь вернёмся к исходному неравенству, записав его а < x + √(x^2+9). Поскольку правая часть всегда больше 0, то при а=0 решением неравенства является любое вещественное число.

Пусть теперь а>0. График функции у = а пересекает график рассмотренной ранее функции - в силу её монотонности - в одной единственной точке. Значит, решением неравенства будут являться все те х, которые больше абсциссы этой точки. Освталось найти эту абсциссу - для этого нужно решить уравнение а - х = √(x^2+9). Возведя его части в квадрат и выполнив преобразования, находим х0 = (а^2-9)/(2a).

Итак, получаем ответ: если а=0, то решением неравенства является любое вещественное число;
если а>0, то решением является бесконечный интервал ((a^2-9)/(2a);плюс бесконечность).