Докажите, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон АВ и АС. Указание. Продолжите медиану AM за точку М

Решение. Рассмотрим такую точку А\, что дорога проходит через середину М отрезка АА\ и перпендикулярна к нему (рис. 194). Прямоугольные треугольники AM С и А\МС равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому их гипотенузы АС и А\С равны. Следовательно, АС + С В = А\С + СВ. Если точка С не лежит на прямой А\В, то А\С + СВ > А\В (неравенство треугольника); если же точка С лежит на прямой А\В, то А\С + + СВ = А\В. Таким образом, сумма А\С + СВ, а значит и сумма АС + СВ, принимает наименьшее значение в том случае, когда точка С представляет собой точку пересечения прямой А\В с дорогой.
Ответ. В точке пересечения дороги с отрезком А\В, где А\ — такая точка, что дорога проходит через середину отрезка АА\ и перпендикулярна к нему.