Знайдіть первісну для функції f(x) = 1/3cosx/3+4sin4x, графік якої проходить через точку M (п; 1).

 F(x) = - cos(x/3) + sin4x + 0,5 .  

Объяснение:

f(x)=1/3 sin x/3+4 cos 4x , графік якої проходить через точку A (π; 0) .

F(x) = 1/3 *( 1 : 1/3 ) * ( - cos ( x/3)) + 4 *( 1/4)sin(4x ) + C = - cos(x/3) + sin4x + C ;

F(x) = - cos(x/3) + sin4x + C ;     A (π; 0) ;

- cos(π/3) + sin(4π) + C = 0 ;

- 1 /2 + 0 + C = 0 ;      C = 0,5 ;      F(x) = - cos(x/3) + sin4x + 0,5 .

Перш за все, варто звернути увагу на те, що функція f(x) = (1/3)cos(x/3) + 4sin(4x) не має однозначного первісного (антипохідної). Вона може мати безліч первісних з додаванням довільної константи.

Однак, якщо ви шукаєте первісну, графік якої проходить через точку M (п; 1), то можемо використати цю інформацію для знайдення константи.

Припустимо, що F(x) є первісною для функції f(x). Тоді, ми можемо записати:

F(x) = (1/3)∫cos(x/3) dx + 4∫sin(4x) dx,

де ∫ позначає знак інтегралу.

Обчислимо ці інтеграли:

∫cos(x/3) dx = 3sin(x/3) + C₁,

∫sin(4x) dx = -(1/4)cos(4x) + C₂,

де C₁ та C₂ - це довільні константи.

Тоді, знаходженням первісної F(x) для функції f(x) виглядатиме наступним чином:

F(x) = (1/3)(3sin(x/3) + C₁) + 4(-(1/4)cos(4x) + C₂),

F(x) = sin(x/3) + (4/3)cos(4x) + (1/3)C₁ + (4/3)C₂.

Тепер, ми знаємо, що графік первісної проходить через точку M (п; 1). Підставимо координати точки M в F(x):

1 = sin(п/3) + (4/3)cos(4п) + (1/3)C₁ + (4/3)C₂.

Тут підставимо значення sin(п/3) = sqrt(3)/2 та cos(4п) = 1, тоді ми отримаємо:

1 = sqrt(3)/2 + (4/3) + (1/3)C₁ + (4/3)C₂.

Ми маємо одне рівняння з двома невідомими (C₁ та C₂), тому нам потрібна ще одна інформація, щоб вирішити цю систему. Без додаткових даних, не можливо однозначно знайти значення C₁ та C₂, а отже, не можна знайти конкретну первісну, графік якої проходить через точку M (п; 1