Существует ли число вида 3^n+1 (n принадлежит n) , делящееся на 10^100? ответ объясните

Предположим что  такое число существует. То  оно  раз делиться на  ,10^100  то  и делиться  на 10. А  значит число   3^n должно  кончаться цифрой 9.
Последние цифры числа  3^n чередуются по  правилу: 3,9,7,1,3,9,7,1...
Числа  с цифрой  9  в конце  происходят  при n=4k-2, k-натуральные числа.
Тогда наше число n если  существует  имеет  вид:
3^n+1=3^(4k-2)+1 
Представим его  так:
3^(4k-2)+1=(4-1)^(4k-2)+1
Выражение  (4-1)^(4k-2) представляет  собой многочлен  бинома Ньютона. В  нем каждый член  кроме члена  (-1)^(4k-2) помножен  на какую либо степень четверки. Таким образом  сумма  всех членов кроме (-1)^(4k-2)  делиться на 4 (Обозначим ее S). Тк   4k-2  cтепень четная при  любом натуральном k,то
(-1)^(4k-2)=1
Тогда  можно записать:
3^n +1=3^(4k-2)+1=4S+2
То  есть  число  3^n+1 при  делении  на  4 дает  остаток  2. Но  тк по  предположению такое число  делиться  на 10^100  ,то  как  следствие должно  делиться на  4 без остатка. То  есть  мы пришли к противоречию. То  есть  такого  числа  не существует.