Сколькими можно поставить в ряд 10 человек так, чтобы между двумя фиксированными людьми стояло ровно три человека? (комбинаторика)

Добро пожаловать в класс, давай разберем задачу и решим ее пошагово.

Мы должны поставить 10 человек в ряд таким образом, чтобы между двумя определенными людьми стояло ровно 3 человека. Для начала, давай выберем двух людей, между которыми будет находиться нужное количество людей. Поскольку вопрос говорит о "фиксированных" людях, значит эти два человека уже выбраны и мы не можем менять их местами.

Выбирая людей в ряду, нам нужно учесть, что между двумя фиксированными людьми должно быть ровно 3 человека. Это значит, что у нас есть 3 пустых места, которые нужно заполнить другими людьми.

Давай посмотрим на возможные варианты для этих 3 пустых мест:

1. Мы можем выбрать 3 людей из оставшихся 8 человек. Это соответствует сочетаниям из 8 по 3, что обозначается как "C(8, 3)". Чтобы вычислить количество сочетаний, мы используем формулу: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), где "!" означает факториал. Таким образом, получаем: C(8, 3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 8! / (3! * 5!).

2. Мы также можем выбрать 2 людей из оставшихся 7 человек (поскольку два из них уже заняты). Это сочетания из 7 по 2, что обозначается как "C(7, 2)".

3. И наконец, мы можем выбрать 1 человека из оставшихся 6 человек (так как уже есть два фиксированных места). Это сочетания из 6 по 1, что обозначается как "C(6, 1)".

Теперь нам нужно сложить количество вариантов для каждого из трех пустых мест. То есть, мы суммируем C(8, 3), C(7, 2) и C(6, 1):

C(8, 3) + C(7, 2) + C(6, 1) = 8! / (3! * 5!) + 7! / (2! * 5!) + 6! / (1! * 5!)

Теперь, давай произведем вычисления:

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40,320
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5,040
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
3! = 3 * 2 * 1 = 6
2! = 2 * 1 = 2
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
1! = 1

Теперь, подставим значения в формулу:

40,320 / (6 * 120) + 5,040 / (2 * 120) + 720 / (1 * 120)

Выполним вычисления:

40,320 / 720 + 5,040 / 240 + 720 / 120

55 + 21 + 6

82

Таким образом, мы можем поставить в ряд 10 человек таким образом, чтобы между двумя фиксированными людьми стояло ровно 3 человека, на 82 различных способа.

Надеюсь, я смог подробно и понятно объяснить решение этой задачи. Если у тебя остались какие-либо вопросы, не стесняйся задать их.