С! 1. при каких значениях a функция y=x^3+3ax возрастает на всей числовой прямой? 2. построить график функции y=x+4\x 3. найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^2\e^x на отрезке [-1; 3] 4. найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около сферы радиуса r

1) Если функция возрастает на всей прямой, то её производная всегда положительна.

y' = 3x^2 + 3a = 3(x^2 + a)

При любом а>0 производная корней не имеет, то есть y' > 0.

При а = 0 будет y = x^3 - тоже возрастает на всей прямой.

При a < 0 будет

y' = 3(x^2 + a) = 3(x - √(-a))(x + √(-a))

Производная имеет 2 корня, значит, есть минимум и максимум.

ответ: a >= 0

2) y = (x+4)/x = 1 + 4/x.

График на 1 рисунке.

3) f(x) = x^2/e^x

Значения на концах отрезка.

f(-1) = (-1)^2/e^(-1) = 1*e = e ~ 2,718

f(3) = 3^2/e^3 =9/e^3 ~ 0,45

Экстремумы.

f'(x) = (2x*e^x-x^2*e^x)/e^(2x) = (2x - x^2)/e^x = 0

2x - x^2 = x(2 - x) = 0

x1 = 0; f(0) = 0/e^0 = 0 - минимум

x2 = 2; f(2) = 4/e^2 ~ 0,54 - максимум

Наименьшее: f(0) = 0

Наибольшее: f(-1) = e

4) это трудная задача, на производную.

Я даю второй рисунок, из которого все понятно.

Обозначим радиус сферы R, радиус основания конуса r, высоту H.

Центр основания конуса обозначим О, центр сферы О'.

Точку касания образующей конуса и сферы D. Вершину конуса S.

Угол наклона образующей к плоскости основания:

tg a = H/r; r = H/tg a

Треугольник SO'D подобен SAO.

Угол SO'D = SAO = a.

cos a = R/SO' = R/(H-R)

Объём конуса

V = 1/3*Π*r^2*H = Π/3*(H/tg a)^2*H = Π/3*H^3/tg^2 a

Теперь выразим tg^2 a через R и H.

cos^2 a = R^2/(H-R)^2

sin^2 a = 1 - R^2/(H-R)^2 = [(H-R)^2 - R^2]/(H-R)^2 = (H^2-2RH)/(H-R)^2

tg^2 a = (H^2-2RH)/R^2

Подставляем в объём как функцию от H

V(H) = Π/3*H^3*R^2/(H^2-2RH) = Π/3*R^2*H^2/(H-2R)

Берём производную от объёма по высоте H.

V'(H) = Π/3*R^2*(2H(H-2R)-H^2*1)/(H-2R)^2

Если объём минимальный, то производная равна 0.

Π/3*R^2*(2H(H-2R)-H^2) = 0

2H^2 - 4HR - H^2 = 0

H^2 - 4HR = H*(H - 4R) = 0

H = 4R.

Чтобы объём конуса был минимальным, его высота должна быть в 4 раза больше радиуса сферы.

Найду ещё и радиус конуса.

tg^2 a = (H^2-2RH)/R^2 = (16R^2-8R^2)/R^2 = 8;

tg a = √8

r = H/tg a = 4R/√8 = 4√8*R/8 = √8*R/2 = 2√2*R/2 = R*√2

Радиус конуса должен быть равен R*√2