Решите неравенство lgx + lg(x-1) < lg 6

lgx(x-1)<lg6

x(x-1)<6

x^2-x-6<0

x1=3 x2=-2

x>1

(1;3)

Для решения данного неравенства, нам потребуется использовать некоторые свойства логарифмов.

Предположим, что x > 0 и (x-1) > 0. Так как логарифмы определены только для положительных чисел.

Давайте начнем с применения основного свойства логарифма, которое мы используем для сокращения комбинации логарифмов с одинаковыми основаниями.

lgx + lg(x-1) < lg 6

Так как основание логарифма везде одинаковое, мы можем сложить левую и правую части неравенства:

lg(x * (x-1)) < lg 6

Теперь, используя свойство логарифма lg(a*b) = lg a + lg b, мы можем записать данное неравенство в виде:

lg(x^2 - x) < lg 6

Мы хотим избавиться от логарифма и нам понадобится использовать другое свойство логарифма:

Если lg a < lg b, то a < b.

В данном случае, у нас имеется логарифм с переменной в неравенстве, поэтому нам нужно переписать его в экспоненциальной форме:

x^2 - x < 6

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

x^2 - x - 6 < 0

Теперь нам нужно решить данное квадратное уравнение. Мы замечаем, что оно разлагается на множители:

(x - 3)(x + 2) < 0

Так как у нас меньше неравенство, наша задача состоит в том, чтобы определить значения x, для которых выражение между множителями меняет знак с минуса на плюс. Это происходит при x < -2 или 3 < x.

Теперь мы получили два интервала, где неравенство выполняется: (-∞, -2) и (3, +∞).

Однако, мы должны помнить, что изначально предполагали, что x > 0 и (x-1) > 0. Поэтому, чтобы удовлетворить этим условиям, мы должны выбрать только отрезок (3, +∞) в качестве решения.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал (3, +∞). Чтобы ответ был полным и точным, мы также можем записать его в виде неравенства:

x > 3

Полученное решение означает, что значение x должно быть больше 3, чтобы неравенство выполнялось.

Я надеюсь, что этот ответ понятен и помогает вам в понимании решения данного неравенства. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!