Решите неравенство f ' (x)< 0 если f(x)=x^3/6 + x^2 - 6x

Найдем производную, заодно вспомним правило - производная суммы\разности, равна сумме\разности производных.

Найдем нашу производную:

Теперь подставим в неравенство:

Решим его:
- умножили на 2.
-упростили.

Найдем нули:

Отмечаем их не отрезке, и мы получили 3 интервала:

Находим знаки:

Так как мы ищем интервал который меньше нуля, то подходит только 2:

То есть:

Хорошо, давайте решим это неравенство. Сначала найдем производную функции f(x), чтобы определить, когда она будет меньше нуля.

f(x) = x^3/6 + x^2 - 6x

Для нахождения производной возьмем производные каждого слагаемого отдельно. Начнем с первого слагаемого:

d/dx (x^3/6) = 3x^2/6 = x^2/2

Теперь возьмем производную от второго слагаемого:

d/dx (x^2) = 2x

И, наконец, производную последнего слагаемого:

d/dx(-6x) = -6

Теперь сложим все производные вместе, чтобы получить производную функции f(x):

f ' (x) = x^2/2 + 2x - 6

Теперь, для решения неравенства f ' (x) < 0, мы должны найти значения x, при которых производная меньше нуля.

Давайте составим уравнение:

x^2/2 + 2x - 6 < 0

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим его, умножив все слагаемые на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

x^2 + 4x - 12 < 0

Итак, у нас есть квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы должны найти значения x, при которых выражение меньше нуля.

Для начала найдем корни уравнения x^2 + 4x - 12 = 0. Для этого можем использовать квадратное уравнение или метод факторизации (если это возможно). В данном случае, метод факторизации работает, так как у нас нет долгих чисел.

Перепишем уравнение в виде:

(x + 6)(x - 2) = 0

Из этого уравнения мы видим два значения x, которые делают уравнение равным нулю:

x + 6 = 0 => x = -6
x - 2 = 0 => x = 2

Таким образом, у нас есть две точки, -6 и 2, которые делят числовую ось на три интервала: (-∞, -6), (-6, 2) и (2, +∞).

Осталось проверить значения производной в каждом из этих интервалов. Для этого выберем проверочные точки внутри каждого интервала и вычислим значение производной в этих точках:

Для интервала (-∞, -6), возьмем x = -7

f ' (-7) = (-7)^2/2 + 2(-7) - 6 = 49/2 - 14 - 6 = 49/2 - 20 = 9/2 > 0

Таким образом, производная на интервале (-∞, -6) положительна.

Перейдем к интервалу (-6, 2), возьмем x = 0

f ' (0) = (0)^2/2 + 2(0) - 6 = 0/2 - 6 = -6 < 0

На интервале (-6, 2) производная меньше нуля.

Наконец, проверим интервал (2, +∞), возьмем x = 3

f ' (3) = (3)^2/2 + 2(3) - 6 = 9/2 + 6 - 6 = 9/2 > 0

Таким образом, производная на интервале (2, +∞) положительна.

Итак, мы выяснили, что производная f ' (x) меньше нуля на интервале (-6, 2). Это означает, что функция f(x) убывает на этом интервале.

Таким образом, ответ на неравенство f ' (x) < 0 для функции f(x)=x^3/6 + x^2 - 6x состоит в следующем:

Решение: x принадлежит интервалу (-6, 2)