Решить пределы применив правило лопиталя 4 и 7 номера)

akmallobanov akmallobanov    3   21.03.2019 20:33    0

Ответы
shaxnozatosheva shaxnozatosheva  26.05.2020 14:40

Пусть

y=(1+x)^{ctg2x}

Логарифмируем

lny=ctg2x\cdot ln(1+x)

Находим

\lim_{x \to 0} lny= \lim_{x \to 0}ctg2x\cdot ln(1+x)=(\infty \cdot 0)= \lim_{x \to 0}\frac{ctg2x}{\frac{1}{ln(1+x)} }=\frac{\infty}{\infty}

Применяем правило Лопиталя:

\lim_{x \to 0}\frac{(ctg2x)`}{(\frac{1}{ln(1+x)} )`}=\lim_{x \to 0}\frac{-\frac{2}{sin^22x} }{(-\frac{1}{ln^2(1+x)}\cdot(\frac{1}{1+x} )}=\lim_{x \to 0}\frac{-2\cdot (1+x)\cdot ln^2(1+x)}{sin^2x} =-2

sinx~x при х →0;

ln(1+x)~x  при х →0

Значит,

\lim_{x \to 0}y=e^{-2}

Пусть

y=(x+3^{x})^{\frac{1}{x}}

Логарифмируем

lny=\frac{1}{x}\cdot ln(x+3^{x})

Находим

\lim_{x \to \infty} lny=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\cdot ln(x+3^{x})=lim_{x \to \infty} \frac{ ln(x+3^{x})}{x}=\frac{ \infty}{ \infty}

Применяем правило Лопиталя

lim_{x \to \infty} \frac{ (ln(x+3^{x}))`}{(x)`}= lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1+3^{x}ln3}{x+3^{x}}}{1}=lim_{x \to \infty}\frac{1+3^{x}ln3}{x+3^{x}} =ln3

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра